Модуль октавы

4.1 Модуль октавы

Определение. Модулем октавы

w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK

называется

Модуль октавы w обозначается |w|. Следовательно,

|w| = .

Из свойства 2) сопряженных октав следует |w|² = w=w. Модуль октавы обладает свойствами:

1) |w| ≥ 0 и |w| = 0 w=0;

2) |w w₁| = |w|*|w₁|.

Действительно,

|w w₁|² = (w w₁)() = (w w₁) () = w(w_1*)= w|w₁|²= |w₁|² w= |w₁|²|w|²,

Откуда

|w w₁| = |w||w₁|

Равенство |pq| = |p| |q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде имеет вид:

|w w₁| = |w| * |w₁|.

(a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²) () = (aa₁ - bb₁ - cc₁ - dd₁ - AA₁ -BB₁ - CC₁ - DD₁)² +(ab₁ + a₁b + cd₁ -c₁d - A₁B + B₁A + C₁D - CD₁)² +(ac₁ + a₁c - bd₁ + b₁d - a₁c + ac₁ - b₁d + bd₁)² +(ad₁ + a₁d+ bc₁ - b₁c - a₁d + ad₁ + b₁c - bc₁)² +(a₁a - b₁b - c₁c -d₁d + Aa₁ + Bb₁ + Cc₁ + Dd₁)² +

(a₁b+ b₁a + c₁d-d₁c - Ab₁ + Ba₁ - Cd₁ + Dc₁)² +(a₁c+ c₁a - b₁d+ d₁b - ac₁ + ca₁ + bd₁ - db₁)² +(a₁ d+ d₁a+ b₁c- c₁b - ad₁ + da₁ - bc₁ + cb₁)².

Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел.

Если

w^/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

- чисто мнимая октава, то

w^/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b² - c² - d² - A² - B² - C² - D² = -(b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²) ≤ 0,

т.е. квадрат чисто мнимой октавы w^/ есть неположительное действительное число.

Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK представить в виде w = а + w^/, где w^/ - чисто мнимая октава

bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, aR, то

w² = (а + w^/)(а + w^/) = a²+ w^/2+2a w^/ =a²- b² - c² - d² - A² - B² - C² - D² +2a w^/.

Если это выражение есть действительное число и а ≠ 0, то w^/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w² = а² не может быть ≤ 0. Следовательно, только октавы вида

w^/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

могут обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w^/ где a ,aR, w^/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава = а –p ^/.

В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что

(u; v)^-1 = ; -.

Так как (и; v) = и + ve, то тогда

(и + ve)^-1 =  -.

Если

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,

это означает, что

(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)^-1== ,

если

w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.

Итак, октава, обратная октаве w, есть октава .

Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:

(ww₁) ₁ = w(w₁₁).

Пусть w = u+ ve, w₁ = u₁+ v₁e, где u, u₁ v, v₁ K, Тогда:

(ww₁)₁ = ((u+ ve)( u₁+ v₁e))(ū₁ - v₁e) = ((uu₁ -v)+ (v₁u+ v ū₁)e)(ū₁ - v₁e) = ((uu₁ -v)ū₁+ (v₁u+ v ū₁))+(-v₁(uu₁ -v)+ (v₁u+ v ū₁)₁)e = (uu₁ ū₁ -vū₁+ v₁u+ vū₁) +(-v₁uu₁ +v₁v + v₁u u₁+ vū₁u₁)e = (u|u₁|² + |v₁|²u)+(v|v₁|² + |u₁|²v)e = u(|u₁|²+ |v₁|²)+ v(|v₁|² + |u₁|²)e = (|u₁|²+ |v₁|²)( u+ ve) = |w₁|²w.

< ><С другой стороны,

w(w₁₁) = w|w₁|².

Сравнивая правые части этих равенств, получаем:

(ww₁) ₁ = w(w₁₁).

Покажем также, что в алгебре октав имеет место равенство:

₁(w₁w) = (₁w₁)w).

Действительно,

₁(w₁w) = (ū₁ - v₁e)((u₁+ v₁e)(u+ve)) = (ū₁ - v₁e) ((u₁u-v₁ )+(vu₁+ v₁ū)e) = (ū₁(u₁u--v₁ ) – ()(-v₁))+((vu₁+ v₁ū)ū₁ - v₁())e = (ū₁(u₁u-v₁ ) + (ū₁+ u)v₁) + ((vu₁+ v₁ū)ū₁ - v₁(ū ū₁ - v))e= (ū₁u₁u- ū₁v₁ + ū₁v₁+ uv₁) + (vu₁ ū₁+ v₁ūū₁ - v₁ūū₁ - v₁v)e =(|u₁|²u + u|v₁|²)+(v|u₁|² + |v₁|²v)e = (|u₁|²+ |v₁|²)u + (|u₁|² + |v₁|²)ve = (|u₁|²+ |v₁|²)( u+ ve) = |w₁|²w..

С другой стороны,

(₁w₁)w = |w₁|²w.

Сравнивая правые части этих равенств, получаем:

₁(w₁w) = (₁w₁)w.

Рассмотрим уравнение wх = w₁, где

w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

w₁ =a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K.

- известные октавы, а х - неизвестная октава. Умножим слева это уравнение на , w ≠ 0. Тогда:

 (wх) = w₁ (w)х = w₁ |w|² х = w₁  х = w₁ .

В этом случае октава х называется левой частной от деленияоктавы w₁ww на октаву w.

Аналогично, решением уравнения yw = w₁ является

yy y = w₁,

называемый правым частным от деления октавы w₁ww на октаву w.

Найдем квадратный корень из октавы

ww w = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK.

Значение квадратного корня из этой октавы будем искать как октаву

θ= x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK ,

где x, y, z, t, X, Y, Z, T R, удовлетворяющий условию θ ² = w. Следовательно,

(x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK)( x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK) = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK  x² – y² – z² – t² -X² – Y² – Z² – T²+ 2xyi + 2xzj + 2xtk + 2xXe + 2 xYI +2xzj + 2xtk = = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK  

Если x ≠ 0, тo из первого уравнения системы следует, что

4х⁴ - 4ах² – (b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²) = 0

x²=  (a± ) = (a± |w|).

Так как х² ≥ 0, то х² = (a± |w|), откуда x=± .Определив х, значения y, z, t, X, Y, Z, T находим из равенств

y = , z = , t = , X = , Y = , Z = , T = .

Из рассмотрения свойств кватернионов и октав можно заметить, что у этих числовых систем много общего. Алгебраические формы записи элементов этих числовых систем представляют собой некоторые многочлены от действительного числа и мнимых единиц с действительными коэффициентами. Одинаковым образом вводится понятие элемента сопряженного данному элементу. Свойства сопряженных элементов одни и те же, в некоторых случаях лишь с поправкой на число мнимых единиц. Понятие модуля кватерниона и октавы вводится одинаковым образом и обладает одинаковыми свойствами. То, что квадрат чисто мнимого кватерниона или октавы есть неположительное действительное число, дает для них возможность записи в виде а + t, где а  R и t² ≤ 0. Формула извлечения корня квадратного как из кватерниона, так и из октавы одна и та же, опять-таки с учетом количества мнимых единиц. При внимательном подходе к аксиоматическому определлллению этих числовых систем так же можно заметить общий подход к построению моделей этих числовых систем. Это так называемый метод удвоения, который заключается в том, что при введении нового числового множества мы строим декартов квадрат предыдущего чисссслового множества и новые числа рассматриваем как упорядоченные пары из чисел предыдущего числового множества. Так, удвоением множества действительных чисел получили множество комплексных чисел, удвоением множества комплексных^-чисел - множество кватернионов, удвоением множества кватернионов - множество октав, причем операции сложения и умножения в построенных моделях определялись совершенно одинаково. Такими же свойствами обладает и множество комплексных чисел, однако, в силу того, что их. свойства хорошо изучены на младших курсах, здесь ограничились лишь аксиоматическим построением этой числовой системы.

Теорема Фробениуса, которую мы рассмотрели в , поле комплексных чисел и тело кватернионов анализирует с общей точки зрения, как частные случаи ассоциативной линейной алгебры с делением и содержащей единицу. В дальнейшим мы попытаемся установить общий подход к таким числовым системам, как поле комплексных чисел, тело кватернионов и алгебра октав.