Нормированные линейные алгебры

6.1 Нормированные линейные алгебры

Пусть  -линейная алгебра ранга п над полем действительных чисел и х, у  А. Если e₁, e₂, ..., е_n - базис А, то:

х = х₁е₁ + х₂е₂ + .... + х_пе_п, у = y₁е₁ + y₂е₂ + .... + y_пе_п. .

 

Определение. Скалярным произведением элементов х, у  А называется сумма х₁у₁ + х₂у₂ + ... + х_пу_п.

Обозначение скалярного произведения:

(х, у) = х₁у₁ + х₂у₂ + ... + х_пу_п.

В частности:

(х, х) = ++… +.

Скалярное произведение элементов х, уА должно удовлетворять общим условиям скалярного произведения в линейных пространствах:

1)для любых х, у  А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2)для любых х, у  А имеет место (х, у) = (у, х);

3)для любых х, у  А и А  R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у):

4)для любых х, у, z  А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z).

Определение. Линейная алгебра называется нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у  А таким образом, чтобы выполнялось равенство:

(ху, ху) = (х, х)(у, у) . ()

Если положим =|х|. то равенство () записывается в виде:

|ху| = |х|  |у|.

Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда

(0, 0) = (х, х)(у, у)  (х, х)(у, у) = 0,

откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.

Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.

Пусть e  А, и ue, а - произвольный элемент из А. Покажем, что найдется такое k  R, что a - kee. Тогда:

a - kee  (a – ke, e) = 0 (a, e) – k(e, e) = 0.

Скалярное, произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - kee.

Следствие. Если  - линейная алгебра с единицей 1, то для любого а  А имеет место а = k1 + u, где u  1.

Пример 1. Пусть (C, +, ._R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1, i. Скалярное произведение двух комплексных чисел z =а+bi и u =с+ di определим как (z, u) = (zū + u).

Так как

zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,

u= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,

то (z, u) = (zū + u) = ac+bd.

В частности,

(z, z) = (z + z) = z= |z|² = a²+b².

Так как,

zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,

то (zu, zu) = ((zu)*()+( zu)( ))=( zu)()=|zu|² = (ac-bd)²+( ad+bc)²=

a²с²-2abcd + b²d² + a²d² + 2abcd + b²c² = a²c² + a²d² + b²c² + b²d² =

a² (c² + d²) + b² (c² + d²) = (a² + b²)(c² + d²) = | z |² | u |² = (z, z)(u, и),

т.е. выполняется

(zu, zu) = (z, z)(u, и).

Проверим выполнение условий скалярного произведения:

1) (z, z) = | z |² = a² + b² ≥ 0 и (z, z) = a² + b² = 0 a= 0 b= 0 z=0;

2) (z, u) = (zū + u) = ( u+zū) =(u, z);

3) (z, ku) = (z +(ku) ) = k(zū + u) =k(z, u);

4) (z, u+v) = (z +( u+v) ) = (zū+z+ u+ v) =(zū+ u)+ ( z+ v) = (z+u)+(z+v).

Итак, все условия скалярного произведения при

(z, u) = (zū + u)

выполнены для комплексных чисел z и u.

Пример 2. Пусть  - тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Если

р = a+bi+cj+dk, q = a₁+b₁i+c₁j+d₁k,

то по свойству 6 сопряженных кватернионов

p + q = 2(aa₁ + bb₁ + cc₁ + dd₁).

Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение

(p + q) = aa₁ + bb₁ + cc₁ + dd_1.

Итак,

(p, q) = (p + q).

В частности,

(p, p) =  (p + p)= p = |p|² = a²+ b² + c² + d².

Проверим выполнение условий скалярного произведения:

1) (p, p) = |p|² = a²+ b² + c² + d² ≥ 0 и (p, p) = a²+ b² + c² + d² = 0 a= 0 b= 0  c= 0 d= 0 p=0;

2) (p, q) = (p + q) = ( q+ p) = (q; p);

3) (p, kq) = (p +(kq) ) = k(p + q) =k(p, q);

4) (p, q₁+q₂) = (p +(q₁+q₂) ) = (p₁+ p₂+ q₁+ q₂) =(p₁+ q₁) +  (p₂+ + q₂) = (p+q₁)+(p+q₂).

Проверим равенство:

(pq, pq) = (p, p)(q, q).

В самом деле,

(pq, pq) = ((pq) * () + (pq) * ()) = ((pq) * () + (pq) * ()) = (pq) * () = p(q)= |q|² p=|p|² + |q|² = (a² + b² + c² + d²)* () = (p,p ) (q, q).

Итак, все условия скалярного произведения при

(p, q) =(p + q)

выполнены для кватернионов р и q.

Пример 3. Пусть  - алгебра октав. Базисом в U являются 1, i, j, k, e, I, J, K.

Если

w =и+ve =a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w₁ =a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁ J+D₁K,

то по свойству 6) сопряженных октав

w+w₁=2 (aa₁+bb₁+cc₁+dd₁+A A₁+BB₁+CC₁ +DD₁).

Возьмем в качестве скалярного произведения двух октав w и w₁ выражение

(w+w₁) =aa₁+bb₁+cc₁+dd₁+A A₁+BB₁+CC₁ +DD_.

Итак,

(w, w₁) = (w+w₁).

В частности,

(w, w) = (w+w) = w = | w |² = a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D² .

Проверим выполнение условий скалярногопроизведения:

1) (w, w) = | w |² = a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D² ≥ 0 и (w, w) = a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²a= 0 b= 0  c= 0 d= 0  A = 0 b= 0  c= 0d= 0 w = 0;

2) (w, w₁) = (w₁+w₁) = (w₁+w₁) =(w₁, w);

3) (w, kw₁) = (w(₁)+(kw₁)) = k(w₁+w₁) =k(w₁, w);

4) (w, w₁+ w₂) = (w+(w₁+w₂) ) = ( w₁ + w₂+ w₁+ w₂) = (w₁ + w₁) +(w₂+w₂) = (w, w₁)+( w, w₂).

Проверим равенство:

(ww₁, ww₁) = (w, w)(w₁, w₁).

Действительно,

(ww₁, ww₁) = (( ww₁)() + (ww₁)()) = (( ww₁)(₁) + (ww₁)(₁)) = (ww₁)(₁) = w(w₁₁)  = | w₁ |²* w₁₁ = | w |² *| w₁ |² = (a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²) * () = (w, w)(w₁, w₁).

Итак, все условия скалярного произведения при

(w, w₁) = (w₁+w₁)

для октав w и w₁ выполнены.

Лемма 2. В любой нормированной линейной алгебре имеет место тождество:

(a₁b_1,a₂b₂) + (a₁b₂, a₂b₁) = 2(а_1, a₂)(b_1, b₂). (1)

Подставим в основное тождество () данной нормированной линейной алгебры вместо х сумму a₁ + а₂, а вместо у - элемент b. Тогда:

((a₁ + а₂)b, (а₁ + a₂)b) = (a₁ + а₂, а₁ + а₂)(b, b)

(a₁b + a₂b, a₁b + a₂b) = (a₁+a₂, a₁+a₂)(b, b)

(a₁b + a₂b, a₁b) + (a₁b + a₂b, a₂b) =

(а₁, a₁)(b, b) + (a₂, a₂)(b, b) + 2(a₁, a₂)(b, b)

(a₁b, a₁b) + (a₂b, a₂b) + 2(а₁b, a₂b) =

(a₁, a₁)(b, b) + (a₂, a₂)(b, b)+2(a₁, a₂)(b, b). (2)

Но в силу условия ():

(a₁b, a₁b) = (a₁, a₁)(b, b); (a₂b, a₂b) = (a₂, a₂)(b, b).

Тогда из (2) следует

(a₁b,a₂b) = (a₁, a₂)(b, b). (3)

Заменим в (3) b на сумму b₁ + b₂:

(a₁(b₁ + b₂), a₂(b₁ + b₂)) = (a₁, a₂)(b₁ + b₂, b₁ + b₂)

(a₁b₁+a₁b₂, a₂b₁+a₂b₂) = (a₁, а₂)((b₁, b₁)+(b₂, b₂)+2(b₁, b₂))

(a₁b₁, a₂b₁) + (a₁b₁, a₂b₂) + (a₁b₂, a₂b₁) + (a₁b₂, a₂b₂) =

(a₁, a₂)(b₁, b₁) + (a₁, a₂)(b₂, b₂) + 2(a₁, a₂)(b₁, b₂). (4)

Но в силу (З):

(a₁b₁, a₂b₁) = (a₁, a₂)(b₁, b₁); (a₁b₂, a₂b₂) = (a₁, a₂)(b₂, b₂).

Тогда из (4) следует

(a₁b₁, a₂b₂) + (a₁b₂, a₂b₁) = 2(a₁, a₂)(b₁,b₂),

что и требовалось доказать.

Лемма 3. В нормированной линейной алгебре  с единицей имеет место равенство

(аb) = (b, b)а. (5)

Докажем это равенство для случая b 1 . По следствию из леммы 1 тогда для любого х  А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k = 0. В этом случае

 = - b.

Рассмотрим элемент с = (ab)  - а, где  = (b, b).

В силу свойств скалярного произведения имеем:

(с, с) = ((аb) - а, (аb) - а) =((аb) , (ab) ) + ²(a, а)- 2((ab) , а). (6)

Упростим первое слагаемое в правой части равенства (6):

((аb) , (ab) ) = (ab, аb)( , ) = (а, а)(b, b)( , ) = (a, а)(b, b)² = ²(а, а).

Для упрощения третьего слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемся тождеством (1), записав его в виде:

(а₁b₁, а₂Ь₂) = 2(а₁, a₂)(b₁, b₂) - (a₁b₂, a₂b₁).

Положив a₁ = ab, b₁ = , a₂ = a, b₂ = 1, получим:

((аb) , a) = 2(ab, а)( , 1) - (ab, а). (7)

Так как

b1, то (, 1) = (-b, 1) = -(b, 1) = 0.

Далее:

-(ab, а) = -(ab, а(-b)) = (ab, ab) = (a, a)(b, b) = (а, а).

Тогда:

((аb) , а) = (а, а).

Отсюда в равенстве (6) получаем:

(с, с) = ²(а, а) + ²(а, а) - 2²(а, а) = 0.

Так как (с, с) = 0, то с = 0, или (ab)  - а = 0, откуда

(аb)  = а = (b, b)a.

Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b^/, где b^/