Построение частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ) системы, ЛАЧХ разомкнутой системы, переходной характеристики

2. Построение частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ) системы, ЛАЧХ разомкнутой системы, переходной характеристики

На рис.3 показана модель замкнутой системы. Чтобы построить характеристику для разомкнутой системы (кривую Найквиста), необходимо разорвать главную обратную связь (рис.5).

Рис. 5. Модель разомкнутой САУ, составленная в MATLAB / SIMULINK

Имея модель САУ в SIMULINK, легко построить её частотные и переходную характеристики с помощью другого инструмента: LTI Viewer. Он предназначен для анализа линейных стационарных систем. С помощью данного инструмента можно построить частотные характеристики исследуемой системы, получить её отклики на единичные ступенчатое и импульсное воздействия, построить годограф Найквиста и т.д.

Рис. 5. Переходный процесс САУ

Для построения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы производят подстановку  в выражение для передаточной функции замкнутой системы  и АЧХ строят по выражению: .

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) замкнутой системы строится по выражению:

,

т. е. как аргумент комплексной передаточной функции замкнутой системы. ,  - соответственно действительная и мнимая части комплексной передаточной функции замкнутой системы .

Рис. 6. АЧХ и ФЧХ замкнутой системы

Рис. 7. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ

3. Исследование системы на устойчивость

Критерий Гурвица

Характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде имеет вид:

(91)

Составим определители Гурвица:

, , , , , , .

; ; ;

; ; .

Программа анализа устойчивости САУ:

% Анализ устойчивости САУ по Гурвицу

% Коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы:

a7=75;

a6=75030;

a5=75030753;

a4=2530753150;

a3=1753150000;

a2=254*1.0e+8;

a1=5*1.0e+9;

% a - вектор коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы

% a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+a(4)*p^3+a(3)*p^2+a(2)*p^1+a(1)

% нумерация начинается с единицы, а не с нуля

a = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7];

disp('Вычисление определителей Гурвица:');

A6=[a(6) a(7) 0 0 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7) 0 0; a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7);

0 a(1) a(2) a(3) a(4) a(5); 0 0 0 a(1) a(2) a(3); 0 0 0 0 0 a(1)]

d6=det(A6)

A5=[a(6) a(7) 0 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7) 0; a(2) a(3) a(4) a(5) a(6);

0 a(1) a(2) a(3) a(4); 0 0 0 a(1) a(2)]

d5=det(A5)

A4=[a(6) a(7) 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7); a(2) a(3) a(4) a(5); 0 a(1) a(2) a(3)]

d4=det(A4)

A3=[a(6) a(7) 0; a(4) a(5) a(6); a(2) a(3) a(4)]

d3=det(A3)

A2=[a(6) a(7); a(4) a(5)]

d2=det(A2)

A1=[a(6)]

d1=det(A1)

if d6>0 && d5>0 && d4>0 && d3>0 && d2>0 && d1>0

s='Так как все определители Гурвица больше нуля, то система УСТОЙЧИВА';

else

s='Так как не все определители Гурвица положительны, то система НЕ УСТОЙЧИВА';

end

disp(s);

Результат работы программы:

>> Вычисление определителей Гурвица:

A6 = 1.0e+010 *

0.0000 0.0000 0 0  0 0

0.2531 0.0075 0.0000 0.0000 0 0

2.5400 0.1753 0.2531 0.0075 0.0000 0.0000

0 0.5000 2.5400 0.1753 0.2531 0.0075

0 0  0 0.5000 2.5400 0.1753

 0 0  0 0  0 0.5000

d6 = 8.7654e+050

A5 = 1.0e+010 *

0.0000 0.0000 0  0  0

0.2531 0.0075 0.0000 0.0000 0

2.5400 0.1753 0.2531 0.0075 0.0000

0 0.5000 2.5400 0.1753 0.2531

0 0  0 0.5000 2.5400

d5 = 1.7531e+041

A4 = 1.0e+010 *

0.0000 0.0000 0  0

0.2531 0.0075 0.0000 0.0000

2.5400 0.1753 0.2531 0.0075

0 0.5000 2.5400 0.1753

d4 = 1.3753e+031

A3 = 1.0e+010 *

0.0000 0.0000 0

0.2531 0.0075 0.0000

2.5400 0.1753 0.2531

d3 = 1.3757e+022

A2 = 1.0e+009 *

0.0001 0.0000

2.5308 0.0750

d2 = 5.4398e+012

A1 = 75030

d1 = 75030

Так как все определители Гурвица больше нуля, то система УСТОЙЧИВА.

Критерий Михайлова

Построим годограф Михайлова – кривую, которая описывается характеристическим вектором на комплексной плоскости. Характеристический вектор получим, подставив  в характеристический полином (знаменатель передаточной функции замкнутой системы):

Программа анализа устойчивости САУ:

disp (' *** Анализ устойчивости по критерию Михайлова ***');

% знаменатель характеристического уравнения замкнутой системы

% a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+a(4)*p^3+a(3)*p^2+a(2)*p^1+a(1), где вектор a найден ранее

for i=1:1101

w(i)=i-1;% вектор значений частот

end

N=length(w);

for k=1:N

M(k)=-a(7)*w(k)^6+a(6)*j*w(k)^5+a(5)*w(k)^4-a(4)*j*w(k)^3-a(3)*w(k)^2+a(2)*j*w(k)+a(1);

end

x=real(M); % действительная часть

y=imag(M); % мнимая часть

plot(x,y); grid on;

В результате получаем график (рис. 8,а,б).

а)

б)

Рис.8. Кривая Михайлова: а) , б)

Характеристический полином имеет степень 6-го порядка, следовательно, для устойчивости данной системы необходимо, чтобы характеристический вектор описывал угол , т.е. последовательно проходил шесть квадрантов комплексной плоскости. Так как это условие выполняется, то система является устойчивой.

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы, строим в программе MATLAB/SIMULINK с помощью инструмента LTI Viewer.

Рис.9. АФЧХ (кривая Найквиста) разомкнутой системы

Так как кривая Найквиста не охватывает точку (-1;i0), то система является устойчивой.

Запасы устойчивости

Запасы устойчивости определим графически по ЛЧХ разомкнутой системы (рис.7).

Запас устойчивости по амплитуде .

По определению частота среза  - это частота, при которой АФЧХ пересекает окружность единичного радиуса с центром в точке (0;i0). Но, так как кривая Найквиста расположена внутри единичной окружности (рис.9) и не пересекает её, то частота среза отсутствует. Откуда следует, что фаза может изменяться в любых пределах без риска для устойчивости системы.

Вывод: система устойчива.