Напишите формулу разложения вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат

2. Напишите формулу разложения вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат.

3. Как определяется вектор через координаты его начала и конца?

Пусть известны координаты начала вектора А (x₁, y₁, z₁) и его конца В (x₂, y₂, z₂). Точки А и В определяют радиус вектора

z

 и .
рис. 3

Из треугольника ОАВ следует, что , отсюда .

Если обозначить через X, Y, Z - координаты вектора , т.е. = (X, Y, Z), то следует, что

X=х₂-х₁

Y=у₂-у₁

Z=z₂-z₁

Чтобы найти абсциссу вектора Х, необходимо из абсциссы конца вектора вычесть абсциссу начала вектора.

3. Какой вид имеет уравнение прямой в плоскости, проходящей через две точки?

4. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?

2 уровень

1. Напишите разложение вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат.

Координаты вектора	X	-2
	Y	4
	Z	7

A (-2, 4,7) означает, что абсцисса точки A x=-2, ордината у=4, аппликата z=7.

2. Чему равно скалярное произведение векторов и ? Данные для варианта взять из таблицы 2.3

Координаты вектора	X	-2
	Y	4
	Z	7
Координаты вектора	X	3
	Y	6
	Z	4

Т.к. векторы заданы в координатной форме, то по формуле

имеем:

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых l₁ и l₂ и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный d.

Уравнение прямой l1	Уравнение прямой l2	d	Координаты точки Р
			x	y
3x-2y-7=0	x+3y-6=0	3	2	5

Отсюда находим х = 6 - 3у

x = 3

Значит точка пересечения двух прямых A (3;1)

По условия отрезок равен 3, значит координата точки B (3; 0).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А и В.

Здесь знаменатель равен нулю. Полагаем числитель левой части равным нулю.

Получаем

4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный d и проходящей параллельно прямой l₁.

Уравнение прямой l1	Уравнение прямой l2	d	Координаты точки Р
			x	y
3x-2y-7=0	x+3y-6=0	3	2	5

Найдем две точки прямой 3x-2y-7=0

Подставим в уравнение х=1 и х=3 и получим значения у соответственно - 2 и 1.

A (1; - 2) и B (3;1).

Координаты направляющего вектора  найдём по координатам конца и начала вектора

  

Подставляя в формулу

координаты точки O (0;3)

И координаты вектора  получим искомое уравнение прямой

 или .

2 семестр 4 кредит 1 уровень.

1. Как определяются горизонтальные асимптоты функции?

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты; прямая y = с = const является горизонтальной асимптотой графика y = f (x) при  или , если

Или

соответственно.

2. Что такое частное приращение функции нескольких переменных?

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных  в точке  частные производные определяются так:

,

,

если эти пределы существуют.

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная  - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности  и плоскости   в соответствующей точке.

3. Каковы выражения для частных дифференциалов функции z=f (x,y)?

Частной производной по x функции z = f (x,y) в точке M₀ (x₀,y₀) называется предел ,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

; ; .

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f (x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f (x,y) в точке M₀ (x₀,y₀):

=.

Приведем примеры вычисления частных производных/

4. Каково выражение для полного дифференциала функции u=u (x,y,z)?

Полный дифференциал du функции u = f (x,y,z) (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов:

5. Напишите частные производные третьего порядка для функции z=f (x,y,z).

2 уровень

1. Найти частную производную и частный дифференциал функции.

2. Вычислить значения частных производных f’_x (M₀), f’_y (M₀), f’_z (M₀) для данной функции f (x,y,z) в точке M₀ (x₀,y₀,z₀) с точностью до двух знаков после запятой.

3. Вычислить значения частных производных функции z (x,y), заданной неявно, в данной точке M₀ (x₀,y₀,z₀) с точностью до двух знаков после запятой.

lnZ=x+2y-z+ln3 M₀ (1,1,3)

4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). S: z=x²+y²-4xy+3x-15, M₀ (-1,3,4)

Следовательно, уравнение касательной плоскости будет таким:

а уравнение нормали таким: