Прямая, содержащая хорду окружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды

3. Прямая, содержащая хорду окружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.

4. Серединный перпендикуляр к любой хорде окружности является ее осью.

Не все свойства окружности, известные нам из школьного курса геометрии, имеют место на плоскости Лобачевского. Например, теорема о том, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым углом, неверна на плоскости Лобачевского. В самом деле, пусть угол АСВ, вписанный в окружность с центром О, опирается на диаметр АВ (рис. 2-23). Проведем радиус ОС и рассмотрим два равнобедренных треугольника ОАС и ОВС. Так как A = АСО и B = BCO, то A + В = АСО + ВСО =АСВ. Следовательно, σ_ABC = A + В + АВС = 2АСВ. Значит, АСВ = σ_ABC . Так как σ_ABC < 2d, то АСВ < d, т. е. АСВ — острый угол.

Эквидистанта. Эквидистантой называется фигура, которая состоит из всех точек полуплоскости с границей и, равноудаленных от этой прямой. Прямая и называется базой эквидистанты, а перпендикуляр, проведенный из любой точки эквидистанты на базу,— высотой. Высотой называется также длина h этого перпендикуляра.

С эквидистантой связан пучок расходящихся прямых — множество всех прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты. Прямые этого пучка называются осями эквидистанты. Многие свойства эквидистанты аналогичны свойствам окружности.

Убедимся в том, что эквидистанта — кривая линия.

Теорема 1. Любая прямая, лежащая в плоскости эквидистанты, пересекается с эквидистантой не более, чем в двух точках.

доказательство

Рассмотрим другие свойства эквидистанты.

1. Эквидистанта симметрична относительно любой своей оси.

доказательство

2. В каждой точке эквидистанты существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проведенной через точку касания.

доказательство

Учитывая это свойство, мы можем говорить, что эквидистанта является ортогональной траекторией пучка расходящихся прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты (см. рис. 2-22, б).

Хордой эквидистанты назовем любой отрезок, соединяющий две точки эквидистанты.

3°. Любая прямая, содержащая хорду эквидистанты, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.

доказательство

4°. Серединный перпендикуляр к любой хорде эквидистанты является ее осью.

Орицикл. Прежде чем ввести понятие орицикла, докажем следующую лемму.

Лемма. Через каждую точку одной из двух параллельных прямых проходит одна и только одна секущая равного наклона к этим прямым.

доказательство

Пусть на плоскости задан пучок параллельных прямых. На множестве Ω всех точек плоскости введем бинарное отношение ∆ следующим образом. Будем говорить, что точки A и В находятся в отношении ∆, если они совпадают или прямая АВ является секущей равного наклона к прямым данного пучка, проходящим соответственно через точки А и В. Из этого определения непосредственно следует, что отношение ∆ удовлетворяет условиям рефлексивности и симметричности. Можно также доказать, что оно удовлетворяет условию транзитивности. Каждый элемент фактор-множества Ω/∆ называется орициклом (или предельной линией). Прямые данного пучка называются осями орицикла. Если задан пучок параллельных прямых, то через каждую точку А плоскости проходит один и только один орицикл, который представляет собой класс эквивалентности К_А по отношению ∆. Это множество состоит из точки А и всех таких точек X плоскости, что АХ -секущая равного наклона к прямым данного пучка, проходящим через точки А и X.

Если даны направленная прямая UV и на ней некоторая точка А, то тем самым однозначно определяется орицикл, проходящий через точку А с осью UV.

Свойства орицикла аналогичны свойствам окружности и эквидистанты.

Теорема 2. Любая прямая, лежащая в плоскости орицикла, пересекается с орициклом не более чем в двух точках.

доказательство

Орицикл симметричен относительно любой своей оси и является ортогональной траекторией пучка его параллельных осей (см. рис 2-22, в).

Любые два орицикла на плоскости Лобачевского равны.

Гиперболическое пространство

Пусть V — векторное пространство размерности п над полем R (в дальнейшем будем рассматривать значения п = 2,3). Зададим билинейную форму g: V  V → R, такую, чтобы квадратичная форма φ () = g (,) была бы невырожденной квадратичной формой индекса k > 0. Число g (,)R назовем скалярным произведением векторов ,  и обозначим через ·или , а число  длиной (нормой) вектора . Таким образом, если , то  , а если , то , где b > 0 и i² = -1.

Векторное пространство V, в котором скалярное произведение определено при помощи указанной выше билинейной формы g, называется псевдоевклидовым векторным пространством индекса k.

В псевдоевклидовом пространстве скалярный квадрат  вектора ≠ 0 может быть положительным, отрицательным или нулем. Например, если в базисе В = () квадратичная форма φ () имеет нормальный вид:

φ() = (x¹)²+ …+ (x^n-k)² – (x^n-k+1)² – … – (xⁿ)² , (1)

то, очевидно, для векторов базиса имеем:

, ,…, ,, …,.

Поэтому длина каждого из векторов  равна единице; это единичные векторы. Каждый из векторов  имеет мнимую длину i; назовем эти векторы мнимоединичными.

Вектор  ≠ , для которого  = 0, называется изотропным. Длины этих векторов равны нулю. Каждый из векторов , где  и  — векторы базиса В при р  п — k, q > n — k, является изотропным, так как по формуле (1)

φ() = 1 – 1=0.

По-прежнему два вектора ,  будем называть ортогональными, если  = 0. Векторы базиса В, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид (1), попарно ортогональны, так как эти векторы попарно сопряжены относительно билинейной формы g(,).

Таким образом, базис В состоит из единичных и мнимоединичных попарно ортогональных векторов. Такой базис назовем ортонормированным. Так как индекс квадратичной формы φ () не зависит от способа приведения этой формы к нормальному виду, то все ортонормированные базисы псевдоевклидова векторного пространства V содержат одинаковое число мнимоединичных векторов; это число равно индексу пространства.

Пусть В — ортонормированный базис, а векторы  и  в этом базисе имеют координаты (xⁱ) и (уⁱ). Тогда  = хⁱи у = yⁱ, поэтому

=x¹y¹ + x²y² + …+ x^n-ky^n-k – x^n-k+1y^n-k+1 - …- xⁿyⁿ . (2)

Докажем следующую теорему.

Теорема. В псевдоевклидовом векторном пространстве V индекса 1 для любых двух векторов мнимой длины справедливо неравенство

()²

причем знак равенства в этой формуле имеет место тогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарны.

доказательство

Следствие. В псевдоевклидовом векторном пространстве индекса 1 для любых двух векторов ,  мнимой длины справедливо неравенство

(3)

Пусть V — псевдоевклидово векторное пространство индекса размерности п + 1 над полем R (n = 2,3) и g (,) — билинейная форма, с помощью которой в пространстве V определено скалярное произведение. Мы будем рассматривать только автоморфизмы пространства V, т. е. такие линейные преобразования этого пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов (и значит, сохраняют длины векторов). Обозначим через Ω* множество всех векторов мнимой длины пространства V. Очевидно, что если φ — автоморфизм пространства V, то φ (Ω*) = Ω*.

Множество Е ≠ 0 называется п-мерным гиперболическим пространством Лобачевского (и обозначается через ), если задано отображение

π : Ω^*→E,

удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) π— сюръекция;

2) π() = π() тогда и только тогда, когда  и  коллинеарны.

Систему аксиом 1—2 пространства Лобачевского обозначим через .

Элементы множества Е называются точками. Так же как и в случае проективного пространства, если X = π (), то будем говорить, что точка X порождена вектором .

Расстояние между точками X, Y , определяется следующим образом. Зададим положительное число r (одно и то же для данного пространства ). Если точки X, Y порождаются векторами ,  Ω*, то назовем расстоянием между этими точками неотрицательное число δ(X, Y), удовлетворяющее равенству

(4)

где ch t =  - гиперболический косинус вещественной переменной t. Мы замечаем, что функция cht четная, определена на всей числовой оси и ее значения заполняют промежуток [1, + ∞]. Поэтому согласно формуле (3) расстояние между любыми двумя точками всегда существует и является положительным числом.

Число r > 0 называется радиусом кривизны пространства .

Правая часть формулы (4) показывает, что расстояние δ(X, Y) не зависит от выбора векторов, порождающих точки X и Y.

Всякий автоморфизм φ псевдоевклидова векторного пространства индуцирует некоторое преобразование f пространства  по закону:

если

φ () = , то f(X) = X’.

Из формулы (4) следует, что преобразование f сохраняет расстояние между любыми двумя точками пространства . Такое преобразование f называется движением пространства .

Из определения пространства  можно заключить, что гиперболические пространства Лобачевского  и ' одной и той же размерности изоморфны. Следовательно, система аксиом  категорична, теория T () однозначна и ее можно изучать, пользуясь любой интерпретацией.

Докажем, что система аксиом  непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество R вещественных чисел. Для простоты изложения ограничимся случаем, когда п = 2, т. е. когда Е — плоскость Лобачевского.

Вектором псевдоевклидова векторного пространства V индекса 1 размерности 3 назовем любой столбец вида , где а₁, a₂, a₃ — произвольные вещественные числа. Сумма векторов и умножение вектора на число вводятся обычным образом, т. е. как сумма столбцов и умножение столбца на число.

Скалярным произведением векторов  и  назовем число a₁b₁ + а₂b₂ - а₃b₃. Мы получили модель псевдоевклидова векторного пространства индекса 1 размерности 3. Очевидно, множество Ω* всех векторов мнимой длины состоит из тех и только тех векторов , для которых .

Введем следующее обозначение. Множество всех троек чисел вида km₁, km₂, km₃, где k — любое действительное число, отличное от нуля, а m₁, т₂, m₃ - фиксированные числа, не равные одновременно нулю, обозначим через < m₁, т₂, m₃>. ■

Точкой (т. е. элементом множества Е) назовем любое множество < m₁, т₂, m₃> при условии, что . Отображение π : Ω^*→E определим так: вектору  поставим в соответствие точку < m₁, т₂, m₃> , такую, что (а₁, а₂, а₃)  < m₁, т₂, m₃ >

В построенной интерпретации, очевидно, выполняются обе аксиомы системы .

Рассмотренное выше утверждение позволяет дать еще один способ доказательства независимости аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии .

Система аксиом  Гильберта евклидовой геометрии состоит из аксиом I, II, III, IV, V групп, где V — аксиома параллельных, эквивалентная (при сохранении аксиом I — IV) V постулату Евклида. Выше было доказано, что система аксиом  непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. В последующем мы ограничимся геометрией на плоскости, поэтому все системы аксиом будем рассматривать лишь для плоскости.

Рассмотрим систему аксиом ∑* = (\V) U V*. где V* — аксиома Лобачевского. Обозначим через  систему аксиом 1—2 плоскости Лобачевского . Выше мы доказали, что эта система непротиворечива. При этом система аксиом  категорична (все ее интерпретации изоморфны). Можно доказать (с помощью достаточно длинных рассуждений), что системы аксиом ∑* и  эквивалентны.

Следовательно, для системы ∑* нашлась интерпретация — это та же интерпретация, что и интерпретация системы . Поэтому система аксиом ∑* (содержательно) непротиворечива. Но в таком случае из самого способа составления этой системы аксиом следует, что аксиома параллельных V не зависит от остальных аксиом (\ V) евклидовой геометрии.

Замечание. Так как аксиома параллельных V эквивалентна V постулату Евклида, то полученный результат можно еще сформулировать так: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом системы .

Модель Кэли — Клейна плоскости Лобачевского

Эта модель называется также моделью Кэли — Клейна. Ее построил английский математик Кэли, но он не понял, что введенная им геометрия в круге и есть геометрия Лобачевского; это сообразил позже, в 1870 г., немецкий математик Клейн.

1. Плоскость Лобачевского Λ₂ порождена множеством Q* векторов мнимой длины трехмерного псевдоевклидова пространства V (индекса 1). Скалярное произведение векторов пространства V определяется при помощи заданной билинейной формы g(х, у), такой, что g(x, х) — невырожденная квадратичная форма индекса 1.

Рассмотрим проективную модель плоскости Λ₂. На проективной плоскости Р₂, порожденной векторным пространством V, квадратичная форма g(х, х) определяет линию второго порядка Q : Ф (X) = 0, где Ф (X) = g(х, х), и вектор  порождает точку XÎP₂. При этом на плоскости Р₂ рассматриваются не любые проективные преобразования, а только те, которые порождены автоморфизмами псевдоевклидова векторного пространства V. Такие проективные преобразования образуют стационарную подгруппу Н_Q кривой второго порядка Q.

Пусть — ортонормированный базис пространства V, причем  — мнимоединичный вектор. Если в этом базисе вектор  имеет координаты, то, очевидно . Базис В порождает проективный репер R = (А₁, А₂, A₃, E) плоскости Р₂. В этом репере в силу предыдущего равенства линия Q определяется уравнением

.

Следовательно, Q — овальная линия второго порядка.

Напомним, что точкаявляется внутренней точкой относительно линии Q тогда и только тогда, когда . Это означает, что точка М порождена вектором  мнимой длины, т. е. .

Таким образом, при отображении определяющем проективную плоскость Р₂, множество p(W*)=Λ₂ есть множество точек, внутренних относительно овальной линии Q.

Так как при отображении p аксиомы Σ_Λ выполняются, то множество p(W*)=Λ₂ точек, внутренних относительно кривой Q, является моделью плоскости Лобачевского. Линия второго порядка Q называется абсолютом плоскости Лобачевского Λ₂.