Выясним, как изображаются прямые, отрезки, лучи, полуплоскости и углы на модели Кэли — Клейна

2. Выясним, как изображаются прямые, отрезки, лучи, полуплоскости и углы на модели Кэли — Клейна.

Пусть W — двумерное подпространство пространства V и W' =W∩W*≠Æ. Тогда фигура p(W*) называется прямой плоскости Лобачевского Λ₂. Так как  есть прямая на проективной плоскости Р₂, то прямая  плоскости Лобачевского является пересечением прямой а с внутренней областью абсолюта W. На рисунке 3-1, а проективные прямые а и b определяют прямые а_Λ и b_Λ плоскости Лобачевского, которые представляют собой хорды (без концов) абсолюта W и выделены жирной линией. На том же рисунке проективные прямые с и d не определяют прямых на плоскости Λ₂, так как на них нет точек, внутренних относительно абсолюта. Таким образом, проективная прямая и определяет прямую и_Λ на плоскости Λ₂ тогда и только тогда, когда на ней лежит хотя бы одна внутренняя точка относительно абсолюта W. Другими словами, проективная прямая и определяет прямую u_Λ на плоскости Λ₂ тогда и только тогда, когда она пересекает абсолют в двух вещественных точках U и V. Прямую и_Λ будем обозначать через UV или VU (рис. 3-1, б).

Мы видим, что прямыми плоскости Лобачевского являются хорды (без концов) абсолюта. Любые две точки А и В плоскости А₂, лежащие на прямой UV, не разделяют пару точек U, V (рис. 3-1, б), т. е. (UV, АВ)> 0.

Введем понятие «лежать между» для трех точек прямой на модели Кэли — Клейна. Предварительно докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть А, В и М — три точки на прямой UV плоскости А₂. Если (АВ,MU) <0, то и (АВ, MV) <0.

доказательство

Пусть А и В — две точки плоскости Λ₂, лежащие на прямой UV. Будем говорить, что точка М прямой UV лежит между точками А и В (и писать: А —М — В), если пара точек А, В разделяет пару точек М, U (или пару точек М, V), т. e.(AB,MU) < 0 (или (АВ, MV) < 0).

Легко видеть, что это определение не зависит от порядка, в котором берутся точки А и В. В самом деле, так как (АВ, MU) = (BA,MU)^-1, то если А — М — В, то В — М — А. Нетрудно убедиться в том, что на модели Кэли — Клейна выполняются и все другие аксиомы группы II Гильберта.

Далее, обычным путем определяются понятия отрезка, многоугольника, луча, угла и полуплоскости. На рисунке 3-2 изображены отрезок АВ и угол О, внутренняя область угла О заштрихована. На этом же рисунке одна из полуплоскостей с границей UV заштрихована.

3. Выясним теперь, как интерпретируется на модели Кэли — Клейна расстояние между двумя точками. Для этого воспользуемся общей формулой расстояния между двумя точками.

Пусть X, Y — две точки плоскости L₂.

Найдем векторы, порождающие точки пересечения прямой XY с абсолютом Q. Для этого записываем уравнение проективной прямой XY в параметрическом виде и находим отношение  (или ) из уравнения точек пересечения линии с прямой . Если точки X, Y порождены векторами  и , то уравнение принимает вид:

 (2)

Учитывая, что векторы,  мнимой длины, мы можем их нормировать так, чтобы , где r > 0 — тоже число, что и в формуле (4) §1 Гл.3. Из этой формулы находим

.

Уравнение (2) принимает вид:

, (3)

где берется знак «плюс» в случае ×< 0 и знак «минус» в случае ×>0.

Рассмотрим случай ×>0. Учитывая, что , из уравнения (3) находим:

 и .

Следовательно, если U и V — точки пересечения прямой XY с линией Q, то векторы  и , порождающие эти точки, имеют вид:

.

Отсюда находим (XY, UV) = е^2t, поэтому . Правая часть этого равенства меняет знак при перемене мест точек U и V. Но так как t> 0, то надо считать, что

.

Таким образом,

(4)

Так как (ХV, UV) = (XY, VU)^-1, то расстояние между точками X, Y, вычисленное по этой формуле, не зависит от порядка, в котором берутся точки U и V в формуле (4). Таким образом, формулу (4) можно записать также следующим образом:

(4’)

В случае  < 0 мы получаем те же формулы (4) или (4').

4. Трехвершинник A₁A₂A₃ называется автополярным трехвершинником второго рода для овальной линии второго порядка Q, если точки A₁, A₂ лежат на этой линии, а прямые A₁A₃ и А₂Аз являются касательными к ней в точках А₁ и А₂ соответственно. Следовательно, каждая из сторон такого трехвершинника является полярой одной из его вершин, а именно: А₁А₃ — поляра точки А₁, А₂А₃ — поляра точки А₂ и А₁А₂ — поляра точки А₃ (отсюда и термин «автополярный») .

Пусть A₁A₂A₃ — автополярный трехвершинник второго рода для овальной линии Q. Выберем проективный репер R — (A₁,A₂,A₃, E), где EÎQ . Тогда нетрудно заметить, что в таком репере кривая Q определяется уравнением

.

Рассмотрим стационарную подгруппу H_Q абсолюта Q в проективной группе плоскости Р₂. Если f Î H_Q, то f индуцирует некоторое преобразование f_Λ на плоскости Λ₂, так как в преобразовании f внутренняя область абсолюта переходит в себя. Формула (4) показывает, что преобразование f _Λ сохраняет расстояние между любыми двумя точками плоскости Λ₂, поэтому f_Λ называется движением плоскости Λ₂. Очевидно, множество всех движений плоскости Λ₂ образует группу, которая индуцируется группой H_Q.

Две фигуры F, F'Î Λ₂ называются равными (конгруэнтными), если они H_Q – эквивалентны.

Каждое преобразование fÎH_Q переводит любой автополярный трехвершинник второго рода для абсолюта Q в автополярный трехвершинник второго рода для этого же абсолюта. Поэтому движение f_Λ, которое индуцируется преобразованием f, однозначно определяется заданием упорядоченной пары реперов: R=(A₁,A_2, A₃, Е), R'=(A'₁,A'_2, A'₃, Е'), где A₁A₂A₃ и A'₁A'₂A'₃— автополярные трехвершинники второго рода для абсолюта Q и Е, Е'ÎQ. Обратно: пусть (A₁,A_2, A₃, Е) и (A'₁,A’_2, A’₃, Е') — два репера, удовлетворяющие вышеуказанным условиям. Тогда проективное преобразование f, которое переводит репер R в репер R', принадлежит стационарной подгруппе H_Q, поэтому порождает некоторое движение f _Λ. Мы доказали следующее утверждение: каковы бы ни были два репера R=(A₁,A_2,A₃,Е) и R'=(A'₁,A'_2, A'₃, Е'), где A₁A₂A₃ и A'₁ A'₂ A'₃— автополярные трехвершинники второго рода для абсолюта Q, а Е, Е'ÎQ, существует одно и только одно движение f_Λ плоскости Λ₂, которое индуцируется проективным преобразованием f e H_Q, переводящим репер R в репер R'.

Замечание. Заметим, что плоскость Лобачевского может быть реализована «в малом» на поверхности постоянной отрицательной кривизны, т. е. на псевдосфере. Пусть F— гладкая элементарная поверхность достаточно малого размера. (Это значит, что вся она лежит в некоторой e-окрестности одной из своих точек при достаточно малом e.) Тогда геодезические линии поверхности F являются аналогом прямых линий на плоскости. Если F лежит на псевдосфере, то (как и на плоскости Лобачевского) сумма углов геодезического треугольника поверхности F меньше p. Поэтому можно сказать, что на псевдосфере реализуется «в малом» геометрия Лобачевского.

О свойствах параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского

1. Так как все интерпретации системы аксиом Σ_Λ2 плоскости Лобачевского изоморфны, то всю геометрию Á (Σ_Λ2) можно получить с помощью одной из них, например, с помощью интерпретации Кэли — Клейна.

Возьмем на плоскости Λ₂ прямую UV и точку А, не лежащую на этой прямой (рис.3-3). Через точку А проведем прямые U'V и UV’. Рассмотрим прямые UV’ и U'V. Эти прямые не пересекаются на плоскости Лобачевского Λ₂. Но для произвольной точки СÎUV любой внутренний луч AD угла CAV пересекает луч CV. Следовательно, по определению параллельных прямых на плоскости Λ₂ (§1 Гл.2) прямая U'V параллельна прямой UV. Мы знаем, что отношение параллельности двух прямых на плоскости Лобачевского симметрично (§3 Гл.2, теорема 1). Следовательно, и прямая UV параллельна прямой U'V. Мы скажем, что эти прямые параллельны в направлении V. Точно так же убеждаемся, что прямые VU и VU параллельны в направлении U.

Таким образом, в интерпретации Кэли — Клейна параллельные прямые изображаются хордами абсолюта Q, имеющими общий конец.

Прямые UV и MN на рисунке 3-3 расходятся. Можно сказать, что расходящиеся прямые изображаются такими хордами абсолюта, что содержащие их проективные прямые пересекаются в точке, внешней относительно абсолюта.

2. В §3 Гл.2 мы изучили некоторые свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского. Рассмотрим еще два свойства, для доказательства которых воспользуемся моделью Кэли — Клейна, так как на этой модели эти свойства доказываются значительно проще.

Теорема 1. На плоскости Лобачевского отношение параллельности прямых в одном и том же направлении транзитивно.

доказательство

Теорема 2. Пусть на плоскости Лобачевского даны две пары параллельных прямых: прямые UV, U\V, параллельные в направлении V, и прямые U'V, U\V, параллельные в направлении V (рис. 3-4). Тогда существует движение, которое переводит первую пару параллельных прямых во вторую.

доказательство