Если (АВ, CD) = (АВ, CD'), то точки D и D' совпадают

1. Если (АВ, CD) = (АВ, CD'), то точки D и D' совпадают.

2. Для любых четырех точек А, В, С, D прямой имеем (АВ, CD) = (CD, AB)= = (ВА, DC) = (DC, BA).

Если четыре точки на прямой заданы своими координатами M₁(x₁, у₁), М₂ (х₂, y₂), М₃ (х₃, у₃) и M₄ (х₄, у₄), то

. (1)

Одна из этих формул теряет смысл, если данные точки лежат на прямой, параллельной одной из координатных осей.

Биективное отображение f : Ω → Ω назовем -преобразованием, если выполнены следующие условия.

а) Внутренние точки круга Ω переходят во внутренние точки этого же круга, а граничные точки этого круга — в граничные точки.

б) Любая хорда окружности ω переходит в некоторую хорду этой же окружности, и при этом сохраняется сложное отношение соответственных точек.

Рассмотрим примеры -преобразований.

Пример 1. Любое движение евклидовой плоскости, имеющее центр абсолюта своей инвариантной точкой, индуцирует во множестве Ω некоторое -преобразование. В частности, тождественное преобразование множества Ω, вращение вокруг центра О круга Ω, отражение от любого диаметра круга Ω являются примерами -преобразований.

Пример 2. Пусть отображение f : Ω → Ω в системе координат Оху задано формулами

, ,где |a| < 1 (2)

Так как для точек множества Ω: — 1 ≤ х ≤ 1, то 1 — ах ≠ 0, поэтому каждая точка множества Ω имеет образ. Из формул (2) получаем:

(3)

,. (4)

Из равенства (3) следует, что точки абсолюта ω при отображении f переходят в точки абсолюта, а точки множества  — в точки того же множества . Далее, из равенств (4) мы заключаем, что каждая точка (х', у') множества Ω имеет единственный прообраз (х, у), поэтому отображение (3) является биекцией множества Ω.

Отметим, что преобразование f, как показывают формулы (2) и (4), является инволютивным, т. е. f ^-1 = f.

Докажем, что для преобразования f выполняются также условия б). Если точки M₁, M₂,, M₃ лежат на прямой Ах + By + С = 0, то, используя формулы (4), мы убеждаемся в том, что их образы M’₁, M’₂,, M’₃ также лежат на некоторой прямой. Таким образом, если UV — некоторая хорда окружности ω, а U = f(U), V = f(V), то все точки хорды UV переходят в точки хорды U'V’. Но так как f ^-1 = f, то все точки хорды U'V’ переходят в точки хорды UV. Таким образом, хорда UV переходит в хорду U'V’.

Остается доказать, что преобразование (2) сохраняет сложное отношение четырех точек. Пусть M₁(x₁, у₁), М₂ (х₂, y₂), М₃ (х₃, у₃), M₄ (х₄, у₄)— четыре точки, лежащие на одной прямой, пересекающей ось Оу, а М'_i(х_i, у_i), i= 1, 2, 3, 4,— их образы. Используя первую из формул (4), находим:

где i , j = 1, 2, 3, 4, i ≠ j.

Отсюда, применяя формулу (1), получаем (М₁М₂, М₃М₄) = (М’₁M’₂, М'₃M’₄). Если точки М_iлежат на прямой, параллельной оси Оу. или на оси Оу, то используя вторую из формул (4), приходим к тому же выводу. Итак, доказано, что формулами (2) задано инволютивное -преобразование.

Рассмотрим некоторые свойства -преобразований. Из определения -преобразования непосредственно следует утверждение.

1°. Если f и g — -преобразования, то fg и f ^-1 являются -преобразованиями.

2°. Любое -преобразование сохраняет отношение «лежать между» точек круга Ω.

□ Пусгь А, В, С  и А — В — С, а А', В', С' — образы этих точек. Обозначим через UV хорду, на которой лежат данные точки, а через U'V' образ этой хорды. Если точки А и С являются концами хорды UV (т. е. сов- падают с тачками U и V), то А' и С' являются концами хорды U'V'. В этом случае утверждение 2° очевидно. Предположим, что тачка U не совпадает ни с одной из точек А и С. Тогда (АС, ВU) = (А'С', B'U') или . Так как (АС, V) < 0, (А'С', V') < 0 и по условию (АС, В) > 0, то из последнего равенства следует, что (А'С', В') > 0. Это означает, что А' — В' — С.

Отсюда мы заключаем, что при -преобразовании отрезок, принадлежащий кругу Ω, переходит в отрезок; в частности, полухорда круга Ω переходит в полухорду того же круга. Далее, любой сегмент круга Ω переходит в сегмент того же круга.

Пусть UV - хорда круга Ω. AU — полухорда этой хорды, а  — одни из сегментов, ограниченный хордой UV. Пару AU,  назовем -флагом и обозначим через (AU, ). На рисунке 1 изображены два -флага (A₁U₁, ) и (A₂U₂ , ). Из предыдущего ясно, что -преобразование любой -флаг переводит в -флаг.

3. Какова бы ни была внутренняя точка А круга Ω. существует инволютивное -преобразование, которое переводит точку А в центр О круга Ω, а точку О в точку А.

□ В самом деле, пусть ОА = а. Выберем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка А в этой системе имела координаты А(а, 0). Тогда -преобразование, заданное формулами (2), переводит точку А в точку О, а точку О в точку А.

4. Каковы бы ни были флаги I₁ = (A₁U₁, ) и I₂ = (A₂U₂, ), существует -преобразование, которое I₁ переводит в I₂ (рис. 1).

□ По свойству 3° существуют инволютивные -преобразования f₁ и f₂, такие, что О = f₁(A₁) и О = f₂(А₂), где О - центр круга Ω. Пусть I₁' = f₁(I₁) и I₂' = f₂(I₂). Рассмотрим -преобразование f₀, такое, что I₂' = f₀(I₁') (f₀ является вращением вокруг точки О или вращением вокруг точки О с последующим отражением от диаметра круга Ω). Тогда f = f₂f₀f₁ является искомым -преобразованием, так как f(I₁) = f₂f₀f₁(I₁) = f₂f₀(I₁ ') = f₂(I₂ ') = I₂.

Отсюда получаем утверждение.

5°. Каковы бы ни были полухорды A₁U₁ и A₂U₂, существует -преобразование, которое полухорду A₁U₁ переводит в полухорду A₂U₂.

6°. Если -преобразование какой-нибудь -флаг переводит в себя, то оно является тождественным преобразованием круга Ω.

В этом пункте для простоты изложения неевклидовы отрезки, лучи, углы, полуплоскости будем называть просто отрезками, лучами, углами, полуплоскостями. Введем следующие соглашения. Будем считать, что отрезок АВ ранен отрезку А'В', если существует такое -преобразование, которое отрезок АВ переводит в отрезок А'В'. Аналогично угол hk считается равным углу h'k', если существует -преобразование f, которое угол hk переводит в угол h'k' (т. е. h' = f(h) и k' = f(k) или k' = f(h) и h' = f(k)).

Заметим, что если hk = h'k', то всегда найдется такое -преобразование f', что h' = f'(h), k' = f'(k). В самом деле, допустим, что равенство hk = h'k' означает существование такого -преобразования, что k' = f(h), h' = f(k). Рассмотрим инволютивное -преобразование f₁, которое вершину угла hk переводит в центр О круга Ω. (свойство 3°). Пусть h₁ = f₁(h), k₁ = f₁(k). Если f₂ - симметрия с осью, содержащей биссектрису угла h₁k₁, то k₁ = f₂(h₁), h₁ = f₂(k₁). Поэтому f' = ff₁f₂f₁ является искомым -преобразованием.

Покажем, что все аксиомы группы III Гильберта выполнены.

Ш₁. Пусть АВ — данный отрезок, отложенный на луче h, a h' —луч, исходящий из точки А'. Докажем, что существует точка B'  h', такая, что А'В' = АВ.

Обозначим через AU и A'U' полухорды крута Ω, на которых лежат лучи h и h', а через UV и U'V' соответствующие хорды. Рассмотрим -преобразование f, которое полухорду AU переводит в полухорду A'U' (свойство 5°). Тогда h' = f(h). Если В' = f(B), то В'  h', и по определению А'В' = АВ.

Замечание. В нашей модели на луче h' существует единственная точка В', удовлетворяющая условию АВ = А'В'. В самом деле, U' = f(U), V' = f(V), поэтому (UV, АВ) = (U'V', А'В'). Если допустить, что на луче h' существует другая точка В", такая, что АВ = А'В", то аналогично получаем (UV, АВ) = (U'V', А'В"). Поэтому (U'V', А'В') = (U'V', А'В"). По свойству 1° сложного отношения четырех точек точки В' и В" совпадают.

III₂. Выполнение этой аксиомы непосредственно следует нз свойства 1° -преобразований.

III₃. Пусть А — В — С, А' — В' — С', АВ = А'В' и ВС = В'С'. Докажем, что АС = А'С'. Рассмотрим полухорды BU₁, BU₂, B'U'₁, B'U'₂, на которых лежат соответственно точки А, С, А' и С' (рис. 2). По свойству 5° существует такое - преобразование f, которое полухорду BU₁ переводит в полухорду B'U'₁. При этом полухорда BU₂ переходит в полухорду B'U'₂. Пусть А₁ = f(А), С₁ = f(С).

Так как ВА = В'А' по условию и ВА = В'А₁ по построению, то точки А' и А₁ совпадают, т. е. А' = f(A) (см. замечание к аксиоме III₁). Аналогично доказывается, что точки С и С₁ совпадают, поэтому С' = f(C). Таким образом,  -преобразование f отрезок АС переводит в отрезок А'С', т. е. АС = А'С'.

III₄. Пусть даны угол hk и флаг (A', h', λ'). Докажем, что существует единственный луч k'  λ' такой, что hk = h'k'. Для этого рассмотрим -флаги I = (AU, ) и I' = (A'U', '), которые выбраны так, что h  AU, h'  A'U', k , λ' '. По свойству 4° существует такое -преобразование f, что I' = f(I). Луч k' = f(k) является искомым, так как k'λ' , и по определению равенства углов hk = h'k'.

Предположим, что k" — луч, удовлетворяющий условиям: hk = =h'k'' и k"  I'. Тогда, очевидно, h'k' = h'k", поэтому существует такое -преобразование f, что h' = f(h'). k" = f(k'). Отсюда мы заключаем, что преобразование f  -флаг I' переводит в себя. По свойству 6° f — тождественное преобразование круга Ω, следовательно, лучи h' и k" совпадают.

Ш₅. Пусть в треугольниках ABC и А'В'С имеем АВ = А'В', АС = А'С' и ВАС = В'А'С'. Докажем, что ABC = А'В'С'.

Так как ВАС = В'А'С', то существует такое -преобразование f, которое переводит луч АВ в луч А'В', а луч АС в луч А'С'. Пусть В₁ = f(B) и С₁ = f(C). Так как A' = f'(А), то АВ = А'В₁. Но по условию АВ = А'В'. поэтому точки В₁ и В' совпадают, т. е. В' = f(B) (см. замечание к аксиоме III₁). Аналогично доказывается, что С' = f(С). Таким образом, -преобразование f точки А, В, С переводит соответственно в точки А', В', С', поэтому ABC = =А'В'С.

IV₁ и IV₂. Группа IV аксиом Гильберта эквивалентна предложению Дедекинда. Ясно, что предложение Дедекинда выполняется на построенной нами модели, поэтому выполняются аксиомы IV₁ и IV₂ Гильберта.

V*. Возьмем произвольную прямую UV и точку А, не лежащую на ней. Рассмотрим прямые UU₁ и VV₁, проходящие через точку А (рис. 3). Эти прямые не пересекаются с прямой UV, так как евклидовы точки U и V не являются неевклидовыми точками прямой UV. Таким образом, имеет место аксиома V* Лобачевского.

Таким образом, построив евклидову модель Кэли — Клейна, мы тем самым доказали, что система аксиом I_1-3, II_1-4, III_1-5, IV_1-2, V* непротиворечива, если непротиворечива система аксиом ∑_Н Гильберта.

Вывод: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом евклидовой планиметрии.

Литература

Основная

1. Александров А.Д. Основания геометрии: Учебное пособие для вузов. М..; Наука, 1987 г.

2. Атанасян Л..С, Базылев В.Г. Геометрия, ч П. М.; 1989 г.

3. Базылев В.Т., Дуничев К.И.. Геометрия, ч П. М.; 1975 г.

4. Сборник задач по геометрии под редакцией В.Т. Базылева, М.; 1980 г.

5. Сборник задач по геометрии под редакцией Л.С. Атанасяна, ч П. М.; 1978г.

Дополнительная

1. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Гостехиздат, 1948 г.

2. Каган В.Ф. Основания геометрии, ч I.M.; Л.; Гостехиздат, 1949 г

3. Костин В.И. Основания геометрии. М.; Л.; Учпедиздат, 1946 г.

4. Погорелов А.В. Основания геометрии. М.; Наука, 1968 г.