Значение целевой функции в ячейке G6 = 15880;

1. Значение целевой функции в ячейке G6 = 15880;

2. Значения переменных в ячейках B8:D8: х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268; это значит, что 1-й продукт должен производиться в объеме 86 единиц, 2-й – 0, а 3-й – 286.

3. Плановый расход ресурсов в ячейках G2:G4: расход 1-го ресурса = 271,6, расход 2-го ресурса = 310, расход 3-го ресурса = 2200.

Как видно 1-й ресурс недоиспользован, а 2-й и 3-й израсходованы полностью.

Кроме результатов в электронной таблице EXCEL готовит три отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы. Отчет по результатам изображен на рис 4.1.5, где изображены три таблицы.

Отчет по результатам

Целевая ячейка (максимум)

Ячейка Имя Исходно Результат

$G$6 Цены ЦФ 15880

Изменяемые Ячейки

Ячейка Имя Исходно Результат

$B$8 Перем Пр1 0 86

$C$8 Перем Пр2 0 0

$D$8 Перем Пр3 0 268

Ограничения

Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 $G$2$F$2 не связан 228,4

$G$3 Рес 2 Расход 310 $G$3$F$3 связанное 0

$G$4 Рес 3 Расход 2200 $G$4$F$4 связанное 0

$B$8 Перем Пр1 86 $B$80 не связан 86

$C$8 Перем Пр2 0 $C$80 связанное 0

$D$8 Перем Пр3 268 $D$80 не связан 268

Рис. 4.1.5

1-я таблица – целевая ячейка – дает значение целевой функции, которая уже имеется в таблице EXCEL, значит, эти данные избыточны.

2-я таблица – изменяемые ячейки – дает значение переменных, которые уже имеются в таблице EXCEL, эти данные тоже избыточны.

3-я таблица – ограничения – дает оценку ограничений. Колонка «значение» дает значения планового расхода ресурсов и переменных – эти данные имеются в таблице EXCEL и здесь избыточны. Столбец «статус» значением «связанное» отмечает ограничения (не больше или не меньше), которые в результате решения превратились в строгие равенства, прочие ограничения имеют статус «несвязанные». Столбец «разница» показывает, на какую величину ограничения отклонились от строгого равенства. Так, например, ограничение 1-го ресурса 500, плановое значение 271,6, разница = 500 – 271,6 = 228,4.

Отчет по устойчивости изображен на рис. 4.1.6. Он состоит из двух таблиц.

Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки

Ячейка Имя Результат Норир. Значение градиент

$B$8 Перем Пр1 86 0

$C$8 Перем Пр2 0 -22,8

$D$8 Перем Пр3 268 0

Ограничения

Ячейка Имя Результат. Лагранжа значение Множитель

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 0

$G$3 Рес 2 Расход 310 20

$G$4 Рес 3 Расход 2200 4,4

Рис. 4.1.6

Таблица «изменяемые ячейки» показывает значения переменных, которые уже имеются в таблице EXCEL. Столбец «нормируемый градиент» показывает, как влияет увеличение переменных на единицу на величину целевой функции. Таблица «ограничения» содержит важную информацию в столбце «Лагранжа множители». Эти величины в литературе имеют различные названия: объективно обусловленные оценки (О.О.О.) по Л. Канторовичу, двойственные оценки по Д. Данцигу, оптимальные цены, теневые цены и другие. В дальнейшем будем называть их наиболее распространенным именем – двойственные оценки и обозначать – v_i, где i – номер ограничения. В данном примере v₁ = 0, v₂ = 20,0, v₃ = 4,4. Отчет по пределам показан на рис. 4.1.7.

Отчет по пределам

Ячейка Целевое Значение имя

$G$6 Цены ЦФ 15880

Ячейка Изменяемое Значение имя	Нижний Целевой предел результат	Нижний Целевой предел результат
$B$8 Перем Пр1 86	0 10720	86 15880
$C$8 Перем Пр2 0	0 15880	0 15880
$D$8 Перем Пр3 268	0 5160	268 15880

Рис. 4.1.7.

В этом отчете уже в третий раз дается значение целевой функции 15880, в пятый раз значение переменных (х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268). Нижний предел для всех переменных = 0, так, установлены ограничения по переменным. Верхний предел равен соответственно 86, 0 и 268, так устанавливают ограничения по ресурсам. Целевой результат показывает значение целевой функции при соответствующих значениях переменных. Если х₁ = 0, то ЦФ = 10720 и т.д.

Запишем математическую модель рассмотренной задачи в общем виде:

 

Пусть:

В-бюджет, т.е. количество денег, которое можно израсходовать на приобретение ресурсов для производства продукции, а s_i – рыночная цена i-го ресурса. Тогда единственное ограничение по ресурсам будет выглядеть следующим образом:

 

.

Смысл этого ограничения - нельзя израсходовать ресурсов на сумму больше, чем В.

Здесь: - расход i-го ресурса в натуральном выражении по j-му технологическому способу;

- расход i-го ресурса в натуральном выражении по всем способам;

- суммарная цена i-го ресурса, израсходованного по всем способам;

- суммарная цена всех ресурсов по всем технологическим способам.

Решим задачу на максимум продукции с ограничением по бюджету. За основу возьмем электронную модель на рис. 4.1.3. и дополним ценами ресурсов s_i и бюджетом В (рис. 4.1.8)

Рис. 4.1.8

Дополнительные величины:

H2:H4 – цены ресурсов (задаются);

I2:I4 – издержки (вычисляются);

I2 = G2*H2;

I3:I4 – копируется из I2;

H6 = 5000 – бюджет (задается);

I6 – издержки всего (вычисляются);

I6 = СУММ (I2:I4).

Ограничения:

B8:D8  0 – неотрицательности переменных;

I6  H6 – совокупные издержки не больше бюджета.

Будет получено решение

x₁ = 0; x₂ = 0; x₃ = 409,84.

v = 3,08 – двойственная оценка ограничения по бюджету – увеличение бюджета на единицу увеличивает валовой продукт на 3,28.

Если ограничения по ресурсам в модели имеют смысл и не больше () и не меньше (), причем все величины () не отрицательные, то в общем случае вывод о существовании или отсутствии допустимого плана сделать нельзя. Все зависит от конкретных значений величин  и . Возможен случай, когда для некоторого k-го ресурса установлено такое ограничение , что оно не может быть выполнено из-за других ограничений. Тогда нет ни одного допустимого плана.

Заключение

В результате проделанной работы был рассмотрен теоретический материал, посвященный решению двойственных задач линейного программирования, и процесс их решения был автоматизирован, с помощью программы MS Excel.

Результатом работы над курсовым проектом является программа для решения задач линейного программирования с помощью двойственного симплекс-метода.

Список используемой литературы

1.  Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. «Наука», 1980 г.

2.  Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.

3.  Математическое моделирование в задачах. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И.

4.  Математическое Белолипецкий В.М.