Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

Содержание

 

1. Введение

2. Постановка задачи

3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР 4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера 5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда

6. Построение общего решения матричным методом

7. Задача Коши для матричного метода

8. Решение неоднородной системы

Графики

Заключение

 

1. Введение

Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

 (1)

где коэффициенты а_ij, i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

y_i=y_i(t), i=1,2,…,n - неизвестные функции переменной t.

Если все b_i(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (b_i(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).

Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор  через  тогда систему (1) можем переписать в матричной форме

(1а)

Если , то получаем соответствующую систему однородных уравнений

. (2)

Всякая совокупность n функций

  

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

 

2. Постановка задачи

Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:

;;

Задание

1.         Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).

2.         Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.

3.         Найти приближенное решение в виде матричного ряда.

4.         Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.

5.         Решить задачу Коши.

Начальные условия:

Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]

t = 0

 
3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

 (3)

Если в матрице системы  все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:

 (4)

Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY

 

Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:

Получилось два действительно корня  и два комплексно-сопряженных корня . Следовательно, вектора, образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находиться отдельно для  и отдельно для . Запишем ФСР для данных для полученных характеристических чисел:

Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.

И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:

Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.

  4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера

Метод Эйлера заключается в следующем.

Решение системы (1) находится в виде:

 (5)

Функция (5) является решением системы (1), если  – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения ₁, ₂, … ,_n матрицы А попарно различны и a₁, a₂, …, a_nсоответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой :

 

где С₁, С₂, … , С_n – произвольные числа.

Для случая кратных корней решение системы принимает вид

 (6)

где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

Если для кратного собственного значения  матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы:

Если для собственного значения  кратности k имеется только m (m<k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени k - m на , т.е. в виде:

Чтобы найти векторы , надо подставить выражение (4) в систему (3). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим уравнение для нахождения векторов .

Для данного задания были найдены следующие собственные значения:

.

Построили фундаментальную систему решений:

Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа . Запишем третью строку решений в общем виде:

Где аij найдем по выражению:

 или

Полученная матрица:

Решаем систему:

Полученные корни:

Доопределим

Тогда первая строка будет иметь вид:

Аналогично найдем вторую строку фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа -1. Полученные значения:

Тогда вторая строка будет иметь вид:

Найдем третью и четвертую строки фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа . Сопряженный корень не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.

Полученные значения:

 

Отделяя в нем вещественные и мнимые части, получим два вещественных решения, которые и составляют первую и вторую строки фундаментальной матрицы решений

Аналогично остальные 3:

Запишем найденную фундаментальную матрицу решений:

Умножим транспонированную фундаментальную матрицу решений на вектор свободных коэффициентов и получим вектор общего решения исходной системы:

Сделаем проверку найденного решения следующим образом:

Получаем нулевую матрицу-столбец:

что показывает, что общее решение найдено верно.

  5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда

Дадим определение матричному ряду и экспоненциальной функции матрицы.

Матричные ряды. Рассмотрим бесконечную последовательность матриц , ,. Будем говорить, что последовательность матриц сходится к матрице А:

,

если  при . Из определения нормы следует, что сходимость матриц эквивалентна поэлементной сходимости. Матричным рядом называется символ , причем говорят, что этот ряд сходится к сумме , если к f сходится последовательность частичных сумм S_k, где

.

Пусть , тогда можно определить степень матрицы А обычным образом:

 (k раз).

Рассмотрим ряд, называемый степенным:

, , ,

где по определению положим A₀ = E_n.

Экспоненциальная функция матрицы. В качестве примера рассмотрим степенной ряд, равный:

.

Так как радиус сходимости соответствующего числового ряда

Равен бесконечности, то ряд сходится при всех А. Сумма ряда называется экспоненциальной функцией (экспонентой) и обозначается через е^А, если ехр{А}.

Приближенно вектор решений можно найти как произведение матричного ряда:

 

и вектора начальных условий y₀=[y₁,y₂, …..y_k].

Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде.

Экспонентой  матрицы А называется сумма ряда

где Е – единичная матрица.

Матрица является решением матричной задачи Коши:

 т.е. является фундаментальной матрицей системы.

Найдем разложение матричного ряда последовательно по семи, восьми и десяти первым членам.

для получения разложения по 7 первым членам (аналогично по 8,10 и 10). Результатом будет являться матрица 4*4. Полученные матрицы умножаем на вектор начальных условий S=[1,2,3,4] и получаем приближенное решение в виде матричного ряда.

При увеличении членов разложения ряда вектор приближенных решений будет стремиться к вектору точных решений. Этот факт можно наблюдать, графически сравнивая изображение точного и приближенного решений (см. приложение).

Умножим на соответствующий вектор начальных условий и получим приближенное решение в виде матричного ряда, запишем полученное решение для n=7.

[s1 ≔ 1, s2 ≔ 2, s3 ≔ 3, s4 ≔ 4]