Построение общего решения матричным методом

6. Построение общего решения матричным методом

Матричный метод решения системы уравнений (1) основан на непосредственном отыскании фундаментальной матрицы этой системы.

Экспонентой e^A матрицы А называется сумма ряда

где Е – единичная матрица.

Свойство матричной экспоненты:

а) если АВ=ВА, то е^А+В=е^А*е^В= е^В *е^А;

б) если А=S^-1*B*S, то е^А=S^-1*e^B*S, где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных.

в) матрица y(t)=e^At является решением матричной задачи Коши:

т.е. является фундаментальной матрицей системы (1).

Из свойства в) следует, что решение y(t) системы (1) удовлетворяющее условию y(0)=y₀, определяется выражением y(t)=e^At*y₀. Таким образом, задача нахождения решений системы уравнений (1) эквивалентна задачи отыскания матрицы e^At по матрице А.

Для вычисления матрицы e^At удобно представить матрицу А в виде:

,

где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных, а B_А – жорданова форма матрицы А, т.к. e^At= S^-1*e^Bt*S.

Жорданова форма матрицы зависит от вида характеристических чисел.

1.         Пусть характеристические числа действительные кратные, тогда Жорданова форма матрицы размерности nxn имеет вид:

где - действительный корень кратности n.

2. Если среди корней характеристического полинома имеются, как действительные разные, так и действительные кратные корни, то матрица В имеет вид:

где - действительные разные корни, а - действительный корень кратности 2.

3.         При наличии среди корней характеристического полинома корней комплексно-сопряженных Жорданова клетка выглядит следующим образом:

где а  комплексно сопряженный корень характеристического полинома.

Так как в нашем случае среди характеристических чисел присутствуют, как комплексно-сопряженные корни л = 2 -  ∨ л = 2 + , так и действительный разные корни л = -1 ∨ л = 1,то жорданова матрица выглядит следующим образом:

Из уравнения A_*S = S_*В, где S – невырожденная матрица, получаем систему 16-го порядка, из которой находим элементы матрицы S. Полученная матрица S будет выглядеть следующим образом:

Решаем систему 16-го порядка из уравнения A_*S = S_*В

Доопределяем некоторые элементы и получаем следующую матрицу S:

Сделаем проверку A_*S - S_*В=0:

Значит матрица перехода найдена верно.

Для нахождения вектора решений y необходимо умножить матрицу S на , где - это вектор, элементы которого зависят от корней характеристического многочлена:

Для комплексных чисел  имеет следующий вид:

Для случая корней действительных разных:

В нашем случае  получается равной:

 =

Отсюда найдем общее решение у=S*, получим:

При подстановке решения в исходную систему получается верное равенство, из этого следует, что решение найдено верно: