Построение квадратичной двумерной стационарной системы
Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
Качественное исследование построенных классов систем
Исследование одной системы из второго класса построенных двумерных стационарных систем
Навигация
Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков
Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков
24313
знаков
2
таблицы
9
изображений
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Курсовая работа
"Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков"
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Построение двумерной стационарной системы
1.1 Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка
1.2 Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в видекривых первого и второго порядков
2. Качественное исследование построенных классов систем
2.1 Исследование одной системы первого класса построенных двумерных стационарных систем
2.2 Исследование одной системы второго класса построенных двумерных стационарных систем
Заключение
Список использованных источников
Приложение
Введение
Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, то есть:
Но в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Большинство дифференциальных уравнений второго порядка возможно привести к системе дифференциальных уравнений вида:
(1)
положив 
, и следовательно, 
.
Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнений.
Часто рассматривается тот частный случай системы, когда независимая переменная t в правые части не входит, то есть система имеет вид:
(2)
Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения
(3)
объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая систем двух дифференциальных уравнений (2) с полной отчётливостью была поставлена А. Пуанкаре [1] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [2, с. 191–211] и уточнены Дж.Д. Бирксоном [3].
Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [4, c. 659], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.
Знание одного частного интеграла системы (0.2) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.2), в которых Р (х, у) и Q (x, y) – полиномы второй степени.
Н.Н. Баутиным [5, c. 181–196] и Н.Н. Серебряковой [6, c. 160–166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (2), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В работе Л.А. Черкаса [7, c. 732] такое исследование проведено для уравнения (3) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка.
А.И. Яблонский [8, c. 1752] и В.Ф. Филипцов [9, c. 469] изучали квадратичные системы с предположением, что частными интегралом являлись алгебраические кривые четвёртого порядка.
В данной работе рассматривается система:
и проводится качественное исследование в целом этой системы при условии, что её частными интегралами являются две кривые–первого и второго порядков. Качественное исследование включает в себя нахождение и исследование состояний равновесия, а также определение направлений траекторий в состоянии равновесия, исследование бесконечно-удалённой части плоскости и качественная картина для построенных систем.
При определённых ограничениях на коэффициенты системы и интегралов строятся классы дифференциальных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой соотношениями.
Работа состоит из двух разделов.
В первом разделе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами.
Во втором разделе проводится качественное исследование в целом выделенных в первом разделе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.
Похожие работы
... (0.5) в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные. Работа состоит из двух глав. В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя ...
... третьего порядка. Яблонский А.И. [11, с.1752 - 1760] и Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка. В данной работе рассматривается система (0.3) и проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что частным интегралом является кривая четвертого порядка, которая ...
... damn(t)/dt =[daij(t)/dt] 1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА. Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования. В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с множеством ...
... ребрами) изображают конструктивные и потоковые функциональные структуры [14]. Принципы построения функциональных структур технических объектов рассматриваются в последующих главах курса "Основы проектирования им конструирования" не включенных в настоящее пособие. Для систем управления существуют характеристики, которые можно использовать в качестве критериев для оценки структур. Одна из них - ...
0 комментариев