Уравнения в Индии

1.3 Уравнения в Индии

 

Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:

aх² + bx = c, где a > 0

В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

 

2.1 Основные понятия

Квадратным уравнением называют уравнения вида

ax²+bx+c = 0,

где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.

Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.

Пример:

x² + 2x + 6 = 0.

Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Пример:

2x² + 8x + 3 = 0.

Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Пример:

3x² + 4x + 2 = 0.

Неполное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.

Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:

1)         ax² = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).

2)         ax² + bx = 0 (имеет два корня x₁ = 0 и x₂ = -)

 

Пример:

x² + 5x = 0

x(x+5) =0

x₁= 0, x₂ = -5.

 

Ответ: x₁=0, x₂= -5.

3)         ax² + c = 0

Если –<0 - уравнение не имеет корней.

Пример:

5x² + 6 = 0

 

Ответ: уравнение не имеет корней.

Если –> 0, то x_1,2 = ±

 

Пример:

2x² – 6 = 0

х²=±

х_1,2=±

 

Ответ: х_1,2=±

Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (b² - 4ac). Обычно выражение b² - 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax² +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax² + bx + c)

Пример:

х² +14x – 23 = 0

D = b² – 4ac = 144 + 92 = 256

x_1,2 =

x₁ =

x₂ =

 

Ответ: x₁ = 1, x₂ = - 15.

В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение.

1) Если D < 0, то не имеет решения.

2) Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих решения x_1,2 =

3) Если D > 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:

x_1,2 =

2.2 Формулы четного коэффициента при х

 

Мы привыкли к тому, что корни квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

x_1,2 =

Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.

В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 коэффициент b имеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим:

x_1,2=

=

Итак, корни квадратного уравнения ax² + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле:

x_1,2=

 

Пример:

5х² - 2х + 1 = 0

x_1,2=

Преимущество этой формулы в том, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a.

В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так:

x_1,2=-k ±.

Пример:

х² – 4х + 3 = 0

х_1,2 = 2 ±

х₁ = 3

х₂ = 1

 

Ответ: х₁ = 3, х₂ = 1.

 

2.3 Теорема Виета

 

Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета: Чтобы числа x₁ и x₂ являлись корнями уравнения: ax² + bx + c = 0

необходимо и достаточно выполнения равенства

x₁ + x₂ = -b/a и x₁x₂ = c/a

Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения

А именно

x² + bx + c = 0

1.    Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.

2.    Если b<0, c>0 то оба корня положительны.

3.    Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4.    Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Квадратные уравнения частного характера

1) Если a + b + c = 0 в уравнении ax² + bx + c = 0, то

х₁=1, а х₂ = .

 

Доказательство:

В уравнении ax² + bx + c = 0, его корни

x_1,2 =  (1).

Представим b из равенства a + b + c = 0

Подставим это выражение в формулу (1):

х_1,2=

=

Если рассмотрим по отдельности два корня уравнения, получим:

1)         х₁=

2)         х₂=

Отсюда следует: х₁=1, а х₂ = .

1. Пример:

2х² - 3х + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, следовательно

х₁ = 1

х₂ = ½

2. Пример:

418х² - 1254х + 836 = 0

Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить.

a = 418, b = -1254, c = 836.

х₁ = 1 х₂ = 2

2) Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c = 0, то:

х₁=-1, а х₂ =- .

 

Доказательство:

Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0, из него следует, что:

x_1,2 = (2).

Представим b из равенства a - b + c = 0

b = a + c, подставим в формулу (2):

x_1,2=

=

Получаем два выражения:

1)         х₁=

2)         х₂=

Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.

1) Пример:

2х² + 3х + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, следовательно

х₁ = -1

х₂ = -1/2

2) Пример:

 

Ответ: x₁ = -1; х₂ = -

3) Метод “переброски”

Корни квадратных уравнений y² + by + аc = 0 и ax² + bx + c = 0 связанны соотношениями:

х₁ = и х₂ =

 

Доказательство:

а) Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0

x_1,2 = =  

б) Рассмотрим уравнение y² + by + аc = 0

y_1,2 =

Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.

Пример:

Имеем произвольное квадратное уравнение

10х² - 11х + 3 = 0

Преобразуем это уравнение по приведенному правилу

y² - 11y + 30 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.

Пусть y₁ и y₂ корни уравнения y² - 11y + 30 = 0

y₁y₂ = 30 y₁ = 6

y₁ + y₂ = 11 y₂ = 5

Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то

х₁ = 6/10 = 0,6

х₂ = 5/10 = 0,5

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y² + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.