Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен

P(x) = a₀xⁿ+ a₁x^n-1_­­­ + … +a_n

Имеет n различных корней x₁ , x₂ …, x_n.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a₀xⁿ+ a₁x^n-1 +…+ a_n = a₀( x – x₁)( x – x₂)…(x – x_n)

Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

xⁿ+ ()x^n-1+ … + () = xⁿ – (x₁ + x₂ + … + x_n) x^n-1+ ( x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n)x^n-2+ … +(-1)ⁿ x₁x₂ … x_n

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x₁ + x₂ + … + x_n= -

x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n=

x₁x₂ … x_n= (-1)ⁿ

Например, для многочленов третей степени

a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃

Имеем тождества

x₁ + x₂ + x₃ = -

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ =

x₁x₂x₃ = -

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁ , x₂ …, x_nданного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.

2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)

К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:

ax⁴ + bx² + c = 0,

называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.

Достаточно положить в этом уравнении х² = y, следовательно,

ay² + by + c = 0

найдём корни полученного квадратного уравнения

y_1,2 =

Чтобы найти сразу корни х_1,x_2,x_3,x₄ , заменим y на x и получим

x² =

х_1,2,3,4 = .

Если уравнение четвёртой степени имеет х₁, то имеет и корень х₂ = -х₁,

Если имеет х₃, то х₄ = - х₃. Сумма корней такого уравнения равна нулю.

Пример:

2х⁴- 9x² + 4 = 0

Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:

х_1,2,3,4 = ,

зная, что х₁ = -х₂, а х₃ = -х₄, то:

х_1,2 =

х_3,4 =

 

Ответ: х_1,2 = ±2; х_1,2 =

2.7 Исследование биквадратных уравнений

Возьмем биквадратное уравнение

ax⁴ + bx² + c = 0,

где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)

 

2.8 Формула Кардано

Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид:

х =

Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени:

ax³ + 3bx² + 3cx + d = 0.

Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения.