Определение коэффициента вариации

1.5 Определение коэффициента вариации

Коэффициент вариации – это относительная характеристика случайной величины, используется при выборе теоретического закона распределения. Коэффициент вариации υ равен отношению σ к среднему значению показателя надежности

 (1.7)

Определение коэффициента вариации по уравнению 1.7 выполняется для тех показателей надежности, зона рассеивания которых начинается от их нулевого значения или близка к нему.

При наличии смещения начала зоны рассеивания tсм величина коэффициента вариации определяется по уравнению:

 (1.8)

Учет смешения особенно необходим тогда, когда для выравнивания опытной информации используется теоретический закон распределения Вейбулла, параметры которого непосредственно зависят от величины коэффициента вариации.

Величину смещения tсм , с достаточной для практических расчетов точностью при наличии статистического ряда можно определить:

 (1.9)

При отсутствии статистического ряда за смещение принимается величина:

 (1.10)

где t1, t2, t3 – значения первого, второго и третьего показателей надежности в порядке возрастания.

Для нашего случая величина смещения равна:

Тогда коэффициент вариации, определенный по формуле 1.8 будет равен:

1.6 Выбор теоретического закона распределения

Теоретический закон распределения (ТЗР) выражает общий характер изменения показателя надежности и исключает частные отклонения, связанные с недостатком первичной информации, т.е. ТЗР характеризует генеральную совокупность. Опытное распределение имеет частные особенности, которые должны быть исключены при переносе характеристик опытного распределения на генеральную совокупность.

Процесс замены опытных закономерностей теоретическими называется выравнивание опытной информации.

Каждый ТЗР характеризуется двумя функциями:

f(t) – дифференциальная функция;

F(t) – интегральная функция.

Применительно к показателям надежности машин, эксплуатируемых в сельском хозяйстве, в подавляющем большинстве случаев используется закон нормального распределения (ЗНР) и закон распределения Вейбулла (ЗРВ).

Выбор теоретического закона производится исходя из следующих признаков:

По величине коэффициента вариации:

если V < 0,3 – выбирается ЗНР;

если 0,3 < V < 0,5 – выбирается ЗНР или ЗРВ;

если V > 0,5 – выбирается ЗРВ.

По области применения.

ЗНР применяется, как правило при определении характеристик рассеивания:

ресурсов и сроков службы машин и агрегатов;

времени и стоимости восстановления работоспособности машин;

наработка на ресурсный отказ;

ошибок измерений размеров деталей.

б) ЗРВ применяется, как правило, при определении:

ресурсов и сроков службы отдельных деталей и сопряжений;

доремонтных и межремонтных ресурсов тех элементов машин, отказы которых вызваны выходом из строя одной и той же детали;

информации по износам деталей.

Здесь применим закон нормального распределения и закон распределения Вейбулла.

Закон нормального распределения (ЗНР)

Отличительной особенностью ЗНР является симметричное рассеивание частных значений относительного среднего.

Дифференциальная функция нормального распределения имеет вид

 (1.11)

где е = 2,718 – основание натурального логарифма;

 - среднее значение показателя надежности;

σ – среднее квадратическое отклонение;

π – 3,14;

t – текущее значение показателя надежности.

Интегральное функция или функция распределения F(t) определяется интегрированием функции плотности вероятностей f (t) и имеет вид

. (1.12)

Обе эти функции имеют два параметра:  - параметр масштаба и σ – параметр формы. Эти параметры определяются на основании опытной информации. Найденные параметры можно подставить в уравнения 1.11 и 1.12 и использовать ими, но это довольно сложная задача.

Если в уравнении 1.11 значение  приравнять к нулю, σ к единице, то получим центрированную и нормированную дифференциальную функцию

. (1.13)

Из уравнений 1.11 и 1.13 соотношение между  (t) и (t) имеет вид:

. (1.14)

Из уравнения 1.13 также следует, что

,

где - значение середины i-го интервала статистического ряда.

Центрированная и нормированная интегральная функция (t = 0; σ = 1) определяется по уравнеию:

. (1.15)

Из уравнений 1.12 и 1.15 получим:

. (1.16)

где - значение конца i-го интервала статистического ряда.

Из уравнения 1.15 следует,

 (1.17)

При обработке опытной информации установлено:

- средний ресурс  =6,49 мм;

- среднее квадратическое отклонение σ = 0,24 мм;

- коэффициент вариации V = 0,42.

Для построения дифференциальной кривой f(t) определяется теоретическая вероятность попадания случайной величины в каждом интервале статистического ряда (таблица 1.2).

Так, вероятность того, что деталь потребует ремонта в первом и втором интервале наработок будет равна:

и т.д. для остальных интервалов.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Для построения интегральной кривой определяются значения функции F(t) для концов интервалов статистического ряда.

Для первого интервала получим:

;

.

Дальнейшие результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3 – Значения f(t) и F(t) при ЗНР

Закон распределения Вейбулла (ЗРВ)

Отличительной особенностью закона распределения Вейбулла является правосторонняя асимметрия дифференциальной функции.

Дифференциальная f(t) и интегральная F(t) функции определяются уравнениями:

 (1.18)

 (1.19)

где а и в – параметры распределения Вейбулла.

Определение параметров "а" и "в" аналитическим путем довольно трудоемко, поэтому на практике при их определении пользуются специальными таблицами.

Порядок определения дифференциальной и интегральной функций при ЗРВ следующий:

1. Определение, на основании опытной информации, среднего значения случайной величины , среднего квадратического отклонения σ и коэффициента вариации.

2. По таблицам по известному значению коэффициента вариации V определяются параметр "в" и коэффициенты Вейбулла Кв и Св .

3. Параметр "а" определяется из выражения:

 (1.20)

или

 (1.21)

Для рассматриваемого задания по ; ; ; .

Из литературных источников по известному коэффициенту вариации V получим ; Кв=0,887; Св=0,380.

Похожие работы

Анализ системы обработки и учета информации при разработке нефтяных месторождений

Скачать

19466

0

2

... на регулирующие воздействия, определив перечень параметров, необходимых при этом. Обработка информации при разработке нефтяных месторождений наиболее эффективно проводится в условиях автоматизированных систем. В процессе автоматизированной обработки информации при решении задач проектирования, анализа и управления процессом разработки нефтяных месторождений последовательно возникают и решаются ...

Надежность, эргономика и качество АСОИУ

Скачать

20972

6

25

... 1.2. Временная диаграмма моментов отказов восстанавливаемых элементов с известными номерами Второй способ регистрации отказов, очевидно, сводится к первому, если фиксируются номера отказавших элементов. В качестве статистических данных берется совокупность разностей τi,j, представляющих собой времена работы элементов до первого отказа. ·  Третий способ регистрации Элементы, поставленные ...

Управление процессами организации сбора и обобщения статистических данных на примере Алматинского областного управления статистики

Скачать

168397

13

0

... его увеличением для целей инфор­мационного обеспечения исполнительных местных органов [7,8]. 3 ОПЫТ УПРАВЛЕНИЯ И ОБОЩЕНИЕ ДАННЫХ НА ПРИМЕРЕ АЛМАТИНСКОГО ОБЛАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ СТАТИСТИКИ3.1 Алматинское областное управление статистики как субъект сбора и обобщения статистической информации   В своей деятельности Алматинское областное управление статистики (АОУС) руководствуется ...

Методы оценки показателей надежности. Организация определительных испытаний на надёжность РЭСИ

Скачать

20318

2

3

... , и обеспеченном необходимыми средствами испытаний. К эксплуатационным относятся испытания, проводимые для определения (оценки) показателей надежности в заданных режимах и условиях эксплуатации. Организация определительных испытаний на надёжность Определительные испытания на надёжность могут проводиться по разным планам. Каждый план имеет некоторое количество параметров, для каждого из ...