Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

 

1.

Найдем решение:

;

;

  

Таким образом:

Сделаем проверку:

;

Четная часть общего решения:

2.

Найдем решение:

 

     

Таким образом:

Сделаем проверку: ;

;, четная часть общего решения

 

3.

Найдем решение:

.

Сделаем проверку:

 Таким образом:  Четная часть общего решения

Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:

 

где  и  – нечетные функции, а четная часть представлена константой.

 

(4.1)

Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.

5. Семейства решений с постоянной четной частью

Рассмотрим систему

(5.1)

Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда  не будет зависеть от .

Рассмотрим уравнение . Его решение

.

Возьмем отражающую функцию  системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:

 (5.2)

Если четная часть будет представлена константой, то

. (5.3)

Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: . Учитывая (5.1), имеем:

.

Воспользуемся соотношением (1.4)

  

(5.4)

Таким образом, приходим к теореме:

Теорема: Если система вида  (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество

 

(5.4)

Заключение

Мы исследовали понятие «отражающей функции».

Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.

На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.

Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Литература

1.   Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.

2.   Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.

3.   Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.

4.   Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.

5.   Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.