Теорема Менелая

1.2 Теорема Менелая

Теорема Менелая дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» грецького математика та астронома Менелая Олександрійського (І-ІІ століття нашої ери). Теорема Менелая дозволяє в деяких випадках знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій.

Теорема Менелая. Нехай задано трикутник  і три точки  на прямих  і  відповідно. Точки  лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли

(1.1)

Зауваження. Іноді добуток відношень в теоремі Менелая записують так:

Тут всі відношення, що перемножуються – це відношення орієнтованих відрізків .

Рис. 1.5

Доведення.

Необхідність. Нехай пряма  перетинає прямі  та в точках  і  відповідно (див. рис. 1.5) і  – перпендикуляри, які опущено з точок  на пряму . Як було доведено раніше,

.

Перемножаючи записані відношення, маємо

.

Достатність. Проведемо пряму . Ми повинні довести, що ця пряма перетинає  в точці . Насамперед доведемо, що  дійсно перетинає . Припустимо, що  паралельна  (див. рис. 1.6). Але тоді

Звідси та з рівності (1.1) випливає , що неможливо.

Нехай  – точка перетину прямих  та . По вже доведеному

Рис. 1.6

Порівнюючи з умовою, одержуємо, що

.

Оскільки мова йде про відношення орієнтованих відрізків, то , що потрібно було довести довести. Отже, теорема Менелая повністю доведена.

Зауваження 1. При розв’язанні конкретних обчислювальних задач, якщо відомо, що точки  і  лежать на одній прямій, можна не турбуватися про запис відношень орієнтованих відрізків в формулі (1.1), а обмежитися відношеннями їх довжин.

Зауваження 2. Якщо замінити в (1.1) орієнтовані відношення відношеннями довжин, обернена теорема перестає бути вірною, тобто точки  і , для яких виконується (1.1), не повинні лежати на одній прямій.

Наприклад, нехай точки  взяті на сторонах  трикутника  так, що , і  – середина сторони , тоді

,

але точки  не лежать на одній прямій.