Застосування теореми Менелая для розв’язання задач

1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач

 

Задача 1.1 У трикутнику  медіана  ділить відрізок  (точка  належить стороні ) у відношенні 5:3 , починаючи від вершини . У якому відношенні відрізок  ділить медіану  

Розв’язок.

1-й спосіб

Нехай  

Введемо вектори .

Розкладемо вектор  за неколінеарними векторами і :

Оскільки , то

,

.

Виходячи з єдиності розкладу вектора  за неколінеарними векторами  і , маємо:

,

Відповідь 3 : 1.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої

Виходячи з умови, маємо :

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої

Тоді

 

Відповідь: 3 : 1.

Задача 1.2 У трикутнику  відрізок  ( належить стороні ) ділить медіану  у відношенні 3:4, починаючи від вершини . У якому відношенні точка  ділить сторону

Розв’язок.

1-й спосіб

 

Проведемо

За умовою  За теоремою Фалеса . Нехай , тоді

Відповідь: 3:8.

 

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

Тоді .

Відповідь: 3 : 8 .

Задача 1.3 Сторони трикутника  поділено точками і  так, що

.

Знайти відношення площі трикутника, обмеженого прямими  і , до площі трикутника .

Розв’язок.

1-й спосіб

Нехай .

Використовуємо теорему синусів для трикутника :

 (1.3.1)

З трикутника :

.

, тому

(1.3.2)

Поділимо почленно рівність (1.3.1) на рівність (1.3.2):

З (1.3.3)

З :  (1.3.4)

Поділимо почленно рівність (1.3.3) на рівність (1.3.4):

 ,

(*)

Нехай .

З (1.3.5)

З : (1.3.6)

Поділимо почленно рівність (1.3.5) на рівність (1.3.6)

З    (1.3.7)

З :  (1.3.8)

Поділимо почленно рівність (1.3.7) на рівність (1.3.8):

,

,

Оскільки , то

(**)

Використовуючи співвідношення (*) і (**), запишемо:

.

Аналогічно одержимо

.

Використовуючи властивості площ, маємо:

Відповідь: 3:7.

 

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

(1.3.9)

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

(1.3.10)

Використовуючи (1.3.9) і (1.3.10) дістанемо:

Аналогічно

А далі розв’язуємо, як в 1-му способі.

Відповідь: 3 : 7.

Задача 1.4 Висота  рівнобедреного трикутника  з основою  поділена на три рівні частини. Через точку  та точки поділу проведено прямі, які ділять бічну сторону, що дорівнює  см, на три відрізки. Знайти ці відрізки.

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

,

,

Звідси см ,  см.

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

,

Звідси см, (см)

Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см.

Задача 1.5 Через середину  сторони паралелограма  , площа якого дорівнює 1, і вершину  проведено пряму, яка перетинає діагональ  у точці . Знайти площу чотирикутника .

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

,

,

Оскільки площі трикутників з рівними висотами відносяться як основи, то

Відповідь:

Задача 1.6. У трикутнику  на стороні  взято точку  , а на стороні  точки  і  так , що  і . У якому відношенні пряма ділить відрізок .

Розв’язок.

За умовою  .

.

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

,

,

.

Відповідь: 11 : 3.

Задача 1.7 На сторонах  і  трикутника  дано відповідно точки і  такі , що .У якому відношенні точка  перетину відрізків і ділить кожен з цих відрізків ?

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

.

,

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

,

,

Відповідь:  , .

Задача 1.8 Ортоцентр  трикутника  (ортоцентр – точка перетину висот) ділить висоту навпіл. Довести , що  , де  – кути трикутника.

Доведення.

Нехай  - даний трикутник, - його ортоцентр, .

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

Виходячи з умови .

З .

З .

З .

Підставимо знайдені залежності в теорему Менелая:

,

,

,

що і треба було довести.

Задача 1.9 З вершини  прямого кута трикутника  проведено висоту , а в трикутнику  проведено бісектрису . Пряма, що проходить через точку  паралельно , перетинає  у точці . Довести, що пряма  ділить відрізок  навпіл.

Розв’язок.

Нехай  , тоді , .

 ( - бісектриса).

.

Тому  - рівнобедрений, .

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

Трикутники  і  подібні,

.

Тоді

(1.9.1)

З подібності трикутників  і  запишемо:

(1.9.2)

З трикутника  за властивістю бісектриси:

(1.9.3)

Порівнюючи співвідношення (1.9.1), (1.9.2), (1.9.3) маємо:

Підставимо знайдений результат у теорему Менелая :

,

Тобто , що і треба було довести.

Задачі для самостійної роботи

Задача 1.10 Нехай  – медіана трикутника . На  взята точка  так, що . В якому співвідношенні пряма  ділить площу трикутника ?

Розв’язок.

Відношення площ трикутників  та  дорівнює відношенню відрізків  та  Застосовуючи теорему Менелая до трикутника ACD та прямої BP, маємо

,

, .

Відповідь: AP:PC=3:2.

Задача 1.11 Три кола різних радіусів розташовані на площині так, що жодне з них не лежить повністю в колі, яке обмежено іншим колом. Кожній парі кіл поставимо у відповідність точку перетину зовнішніх подвійних дотичних. Довести, що одержані три точки лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай радіуси кіл з центрами  рівні  відповідно . Тоді

,

так як кіла з центрами и  гомотетичні відповідно точки С, а відношення радіусів  - коефіцієнт гомотетіі.

Аналогічно .

Таким чином , .

З теореми оберненої до теореми Менелая маємо, що точки А,В,С лежать на одній прямій.

Задача 1.12 В  бісектриса  поділяє  в відношенні 2:1. В якому відношенні медіана  поділяє цю бісектрису ?

Розв’язок .

Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої

.

Так як  – медіана, то , звідси

Відповідь: .

Задача 1.13 В правильном трикутнику  зі стороною  точка –середина ,  – середина , , . Знайти .

Розв’язок.

Площа правильного трикутника дорівнює .

Розглянемо трапецію   , . Знайдемо висоту  цієї трапеції:

 

Оскільки , то , звідки  .

За умовою , де  – трапеція з висотою , тоді

 .

Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

.

Застосовуємо теорему Менелая до трикутника  та прямої :

 

 .

Оскільки , то , звідки      .

    .

Відповідь:

Задача 1.14 Дан паралелограм  . Точка  поділяє відрізок  в відношені , а точка  поділяє відрізок  в відношенні . Прямі  та  перетинаються в точці . Обчислити відношення .

Розв’язок.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника  та прямої :

(*)

Оскільки , то

Так як

.

Підставляємо  в (*): .

Відповідь: .

Задача 1.15 Коло  дотикається кола  та кола  в точках  і . Довести, що пряма  проходить через точку перетину загальних зовнішніх або загальних внутрішніх дотичних до кіл  та .

Доведення.

Нехай  – центри кіл ; - точка перетину прямих  і . Застосовуючи теорему Менелая до трикутника  і точок , знаходимо ,

отже, ,

де  – радіуси кіл  і  відповідно. Отже, – точка перетину загальних зовнішніх або загальних внутрішніх дотичних до кіл  і .

Задача 1.16 а) Серединний перпендикуляр до бісектриси  трикутника  перетинає пряму  в точці . Довести, що .

б) Довести, що точки перетину серединних перпендикулярів до бісектрис трикутників і продовжень відповідних сторін лежать на одній прямій.

Доведення.

а) Нехай для визначеності .

Тоді , звідки .

Так як то

.

б) В задачі а) точка  лежить на продовженні сторони , так як

.

Тому, використовуючи результат задачі а) і теорему Менелая, одержуємо необхідне.

Задача 1.17 На сторонах  чотирикутника  (або на їхніх продовженнях) взяті точки . Прямі  і  перетинаються в точці , прямі  і  - в точці . Довести, що точка перетину прямих  і  лежить на прямій .

Доведення.

Нехай  - точка перетинання прямих  і ,  - точка перетинання прямих  і . Застосовуючи теорем Дезарга до трикутників  і , одержуємо, що точки  лежать на одній прямій. Виходить, .

Задача 1.18 Задан чотирикутник . Продовження його сторін  та  перетинаються в точці , продовження сторін  та  перетинаються в точці . Довести, що середини відрізків  лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай  – середини відрізків , а точки  – середини . Точка  лежить на прямій , точка  – на прямій , точка  – на прямій . Достатньо довести, що

.

Але

,

а останній добуток дорівнює 1 згідно з теоремою Менелая для трикутника  та прямої .

Задача 1.19 Пряма Сімсона. Нехай  – точка кола, описаного навколо трикутника , а точки  – основи перпендикулярів, опущених з точки  на прямі . Довести, що точки  лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай  – відстані від точки , яка взята на дузі  описаного кола, до вершин  відповідно, а  – проекції точки  на прямі . Нехай також , , . Тоді орієнтовані відрізки з точністю до знаку такі:

, , , ,

, .

Записуючи їх відношення, приписуючи ним потрібні знаки, та перемножуючи, одержимо рівність

.

Звідси й випливає, що точки  лежать на одній прямій.

Задача 1.20 На сторонах  та  трикутника  взято точки  та  такі, що . Відрізки  та  перетинаються в точці . Знайти відношення відрізків .

Розв’язок.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника  та січної . Одержимо

,

оскільки , а , то .

Відповідь: .

Задача 1.21 Довести, що пряма, яка проходить через середини основ трапеції, проходить через точку перетину її діагоналей та точку перетину прямих, які містять бокові сторони (див. рис. а).

Доведення.