Спосіб

Орієнтовані відрізки Теорема Менелая Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса Застосування теореми Менелая для розв’язання задач Спосіб Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів Застосування теорем Чеви для розв’язання задач

57811

знаков

таблиц

изображений

Застосування теореми Менелая для розв’язання задач Читать далее: Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів

1 спосіб.

Нехай - точка перетину прямих, що містять бокові сторони і трапеції , - середина основи , – точка перетину прямої з основою (див. рис. б). Доведемо, що – середина відрізку , тобто точка лежить на прямій, яка проходить через середини основ трапеції.

Оскільки трикутник подібний до трикутника за першою ознакою подібності трикутників ( – спільний, ), то відношення

. Аналогічно, трикутник подібний до трикутника , тому . З цих рівностей одержуємо, що . Так як , то , тобто – середина основи .

Позначимо через точку перетину діагоналей і , а через – точку перетину прямих і (див. рис. в). Аналогічно до попереднього, використовуючи подібність: трикутник подібний до трикутника і трикутник подібний до трикутника , доводиться, що – середина основи . Тобто точка лежить на прямій, що проходить через середини основ трапеції.

2 спосіб.

Нехай задана трапеція з основами і . Застосуємо теорему Менелая до трикутника і трьом точкам (середина основи ), (точка перетину діагоналей і ), (точка перетину прямих і ) (див. рис. в).

, , ,

так як трикутник подібний до трикутника . Звідси випливає, що

тому точки лежать на одній прямій. Аналогічно доводиться, що середина відрізка лежить на прямій .

Задача 1.22 Через точку перетину діагоналей чотирикутника проведена січна. Відрізок цієї січної, що замкнений між однією парою протилежних сторін чотирикутника, поділяється точкою навпіл. Довести, що відрізок січної, що замкнений між продовженнями іншої пари протилежних сторін чотирикутника поділяється точкою також навпіл.

Доведення.

Нехай січна зустрічає сторони і чотирикутника в точках і , а продовження сторін і – в точках і . Тоді скориставшись теоремою Менелая для трикутників і , які перетинаються прямими і , одержуємо, що

і .

Тоді

Але за умовою , і для чотирикутника і січної згідно з теоремою Менелая маємо

Отже, або . Звідси і .

РОЗДІЛ 2

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ДОВІЛЬНОГО ТЕТРАЕДРА

Досить ефективно при розв’язанні деяких задач застосовується мало відома стереометрична теорема Менелая для довільного тетраедра.

Теорема Менелая для тетраедра. У довільному тетраедрі точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.1). Для того, щоб точки належали однієї площині, необхідно і достатньо, щоб виконувалось співвідношення

(2.1)

Рис 2.1 До формулювання теореми Менелая для довільного тетраедра

Доведення. Необхідність. Нехай чотирикутник – перетин даного тетраедра деякою площиною . Проведемо – перпендикуляри до площи-ни . Розглянемо «фрагмент» – перетин ребра площиною (див. рис. 2.2).

Рис 2.2 До доведення теореми Менелая

Трикутники та подібні, тому .

Перемножуючи знайдені пропорції, приходимо до рівності:

Достатність. Припустимо, що виконується співвідношення (2.1), але точки не лежать в одній площині. Проведемо через точки площину , що перетинає ребро в деякій точці , відмінної від . Тому ,

отже, співвідношення (2.1) для точок виконуватися не буде. Оскільки ми прийшли до протиріччя з вихідною умовою (не виконується рівність (2.1)), то наше припущення невірне й площина пройде через точку .

Теорема доведена.

Наведемо застосування цієї теореми до розв’язання стереометричних задач.

Задача 2.1 У тетраедрі точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.3), причому і . Через точки проведена площина . У якому відношенні ця площина поділяє об’єм тетраедра?

Рис. 2.3 До задачі 2.1

Розв’язок. Нехай площина перетинає ребро в точці . Чотирикутник – переріз даного тетраедра площиною . Визначимо, у якому відношенні точка поділяє ребро . На підставі співвідношення (2.1) та умови задачі маємо

звідки .

У багатограннику проведемо переріз через ребро і вершину . Цей переріз розбиває розглянутий багатогранник на трикутну піраміду і чотирикутну піраміду , яка діагональним перерізом розбивається на дві трикутні піраміди: .

Нехай – площа грані , – довжина висоти тетраедра, проведена з вершини , – об’єм даного тетраедра. Визначимо об’єми трьох отриманих вище трикутних пірамід. Для піраміди :

де – довжина висоти трикутної піраміди , проведена з вершини на площину грані (). Тоді

Нехай далі – площа грані , – довжина висоти даного тетраедра, проведена з вершини на площину грані . Тоді

де – довжина перпендикуляра, проведеного з вершини на площину грані () і

Знайдемо тепер об’єм багатогранника :

Отже, .

У такий спосіб шукане відношення дорівнює 23:40.

Відповідь: 23:40.

Задача 2.2. Об’єм тетраедра дорівнює 5. Через середини ребер проведена площина, яка перетинає ребро в точці . При цьому відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює . Знайдіть площу перерізу тетраедра зазначеною площиною, якщо відстань до неї від вершини дорівнює 1.

Рис. 2.4 До задачі 2.2

Розв’язок.

Нехай і – середини ребер відповідно і .

Чотирикутник – заданий за умовою переріз. На підставі теореми Менелая

звідки .

З'єднаємо точки і , і , і .

Нехай і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини На рисунку не наведено), дорівнює . Згідно з умовою задачі . Висота піраміди , проведена з вершини дорівнює .

Знайдемо тепер об’єм піраміди :

Далі нехай і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини на грань дорівнює . Тоді об’єм піраміди дорівнює

З іншої сторони (враховуючи, що відстань від вершини до площини перерізу за умовою задачі дорівнює 1), маємо

Отже, .

Відповідь: 3.

Задача 2.3 В піраміді проведений переріз так, що точка лежить на ребрі точка – на ребрі , точка – на ребрі , точка – на ребрі . Відомо, що , .

Знайти відношення об’ємів частин, на які площина поділяє піраміду.

Рис 2.5 До задачі 2.3

Розв’язок.

З умови задачі безпосередньо випливає, що

(2.3.1)

(2.3.2)

Нехай , .

Згідно з теоремою Менелая маємо

Враховуючи (2.3.1) і (2.3.2) й прийняті вище позначення одержуємо

звідки (2.3.3)

Розділивши обидві частини останньої рівності з умови задачі на , одержуємо

або

(2.3.4)

З (2.3.3) і (2.3.4) складаємо систему

Розв’язуємо цю систему:

Розбиваємо багатогранник на три трикутні піраміди: , .

Нехай – площа трикутника , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини , – об’єм даної піраміди, – довжина висоти піраміди , проведена з вершини . Тоді маємо

Нехай – площа грані , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини на площину грані , – довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані . Тоді маємо

Знайдемо об’єм багатогранника :

Отже, .

Таким чином, шукане відношення дорівнює 17:18.

Відповідь: 17:18.

Задача 2.4 Задана піраміда , основа якої має форму опуклого чотирикутни-ка зі взаємно перпендикулярними діагоналями і . Основа перпендикуляра, опущеного з вершини на основу піраміди, збігається з точкою – перетином діагоналей і . Довести, що основи перпендикулярів, опущених із точки на бічні грані піраміди, лежать на одному колі.

Рис. 2.6 До задачі 2.4

Розв’язок.

Нехай – перпендикуляр до площини , – перпендикуляр до площини , – перпендикуляр до площини . Покажемо, наприклад, що точка – ортоцентр грані . В площині грані проведемо промінь до перетину з ребром в точці . Згідно з умовою, і . Тому .

Згідно з теоремою про три перпендикуляри ( , – похила, –її проекція на ) маємо, що . Аналогічно доводиться, що . Отже, точка – ортоцентр грані .

Аналогічно доводиться, що точки і також є ортоцентрами відповідних граней.

З'єднаємо точки і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри . З'єднаємо точки і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри .

Оскільки з точки в грані на можна провести тільки один перпендикуляр, то відрізок пройде через точку . Отже, висоти, проведені в гранях і з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і перетинають ребро в точці .

Аналогічно доводиться, що висоти граней і , проведені з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і попадають в ту саму точку на ребрі .

Розглянемо трикутник , у якому і (див. рис 2.7)

Рис 2.7

Нехай і . Тоді і .

З :

; ; .

З :

; ; .

Аналогічно розглянемо , нехай (див. рис. 2.8).

Рис 2.8

З ; ;

Точки і належать відповідно ребрам і тетраедра . Розглянемо добуток

З того, що розглянутий добуток дорівнює 1, випливає, що точки і належать однієї площини (назвемо неї ). Побудуємо на , як на діаметрі сферу (на рисунку не наведено). Оскільки , то вершини цих кутів лежать на побудованій сфері. А так як точки і належать також площині , то ці точки лежать на перетині площини зі сферою тобто на колі.

Задачі для самостійної роботи

Задача 2.5 В тетраедрі через середини та ребер та проведена площина, яка перетинає ребра та відповідно в точках та . Площа чотирикутника дорівнює 16, а відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює 0,5. Обчислити відстань від вершини до площини , якщо об’єм багатогранника дорівнює 8.

Розв’язок.

Згідно з теоремою Менелая для тетраедра

, .

Знайдемо об’єм :

Знаходимо , де - площа , - висота проведена з вершини , - об’єм .

Знаходимо висоту :

Знаходимо площу .

Тоді

Знайдемо об’єм

де - висота, проведена з вершини до , - висота проведена з вершини до .

Знаходимо висоту :

Знаходимо площу .

Тоді

Отже,

Тоді

Залишилось знайти

де .

Знайдемо площу .

Тоді

Отже

Знаходимо відстань від вершини до площини

Відповідь: .

Задача 2.6 В тетраедрі проведено переріз так, що точка лежить на ребрі , точка – на ребрі , точка – на ребрі , точка - на ребрі . Переріз ділить піраміду на дві частини. Знайти відношення об’ємів цих частин, якщо відомі наступні співвідношення між довжинами відрізків

та .

Розв’язок.

Нам треба знайти .

Нехай , відомо .

Згідно з теоремою Менелая для тетраедра

, .

З умови задачі маємо

Складаємо систему :

Отже, .

Розбиваємо багатогранник на три трикутні піраміди:

Знайдемо об’єм піраміди . Нехай – площа трикутника , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини , – об’єм піраміди , –довжина висоти піраміди .

Тоді

Знайдемо та .

Знайдемо висоту

Отже,

Знайдемо об’єм піраміди :

Відомо, що . Знайдемо .

Відомо, що

Отже,

Знайдемо об’єм піраміди . Нехай - площа грані , – довжина висоти даної піраміди проведена з вершини на площину грані , –довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані .

Тоді

Знайдемо та

Отже,

Об’єм багатогранника

Отже, .

Остаточно

Відповідь: 37:68.

Задача 2.7 Точки не належать одній площині. Відрізки і поділені точками та так, що , а відрізки і поділені точками та так, що . Довести, що точки та належать одній площині.