Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса

1.3 Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса

Нетривіальними прикладами використання теореми Менелая є доведення наступних теорем Дезарга, Паппа, Паскаля.

Теорема Дезарга є однією з перших та важливіших теорем проективної геометрії. Вона була доведена в першій половині XVII століття французським математиком та інженером Жераром Дезаргом (1591-1661).

Теорема Дезарга. Трикутники  та  розташовані на площині так, що прямі  мають спільну точку О (див. рис. 1.7). Нехай А – точка перетину пряміх  та , В – точка перетину прямих  та , С – точка перетинуц прямих  та . Тоді точки  лежать на одній прямій.

Рис. 1.7

Доведення.

З теореми Менелая для трикутника  та прямої  (точка  лежить на ,  – на ,  – на ) випливає, що

Аналогічно, з трикутників  та , які перетинаються прямими  та  відповідно, маємо

,

Перемножуючи виписані рівності, після скорочення одержуємо

Але точки лежать на сторонах або продовженнях сторін трикутника  і згідно з теоремою Менелая лежать на одній прямій.

Теорема доведена.

Наступна теорема була доведена в другій половині ІІІ століття древнегрецьким математиком Паппом Александрійським.

Теорема Паппа. На одній з прямих, що перетинаються взяті точки , на іншій – точки  (див. рис. 8а). Прямі , ,  перетинаються в точках  відповідно. Тоді точки  лежать на одній прямій.

Доведення.

Розглянемо трикутник , де – точка перетину прямих , – точка перетину прямих , – точка перетину прямих  (див. рис. 8б). Точки  лежать на прямих  відповідно.

Рис. 1.8

Запишемо теорему Менелая для трикутника  та п’яти прямих , які перетинають сторони (або їх продовження) цього трикутника. Маємо

 та пряма: ,

 та пряма: ,

 та пряма: ,

 та пряма: ,

 та пряма: .

Перемножуючи одержані рівності, знаходимо

,

отже, точки  лежать на одній прямій. Теорема доведена.

Теорема Паскаля. Нехай шестикутник  вписано в коло. Тоді точки перетину його протилежних сторін лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай  – точки перетину прямих  і ,  і ,  і  відповідно, а  – точки перетину прямих  і ,  і ,  і  відповідно (див. рис. 1.9). Необхідно довести, що  лежать на одній прямій.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника  та прямої :

.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника  та прямої :

.

Рис. 1.9

Застосуємо теорему Менелая до трикутника  та прямої :

.

Перемножуючи ці рівності, маємо

Використаємо властивості відрізків січних:

, , .

Звідси маємо

,

а оскільки знак кожного з шести співмножників від’ємний, то

,

тому

,

отже точки  лежать на одній прямій.

Теорема доведена.

Теорема Гаусса. Середина відрізка, що з’єднує точки перетину продовжень протилежних сторін чотирикутника, лежить на прямій, що проходить через середини діагоналей чотирикутника.

Рис. 1.10

Доведення

Нехай протилежні сторони чотирикутника  перетинаються в точках  та  (див. рис. 1.10). необхідно довести, що середина  відрізка , середини  та  діагоналей  і  чотирикутника  лежать на одній прямій.

Через точки  проведемо прямі, паралельні сторонам трикутника : , , .

Згідно з теоремою Фалеса ці прямі перетинають сторони  трикутника  в їх серединах . Таким чином, точки  лежать на продовженнях сторін трикутника , сторони якого є середніми лініями трикутника . Для того, щоб довести, що точки  лежать на одній прямій, достатньо довести співвідношення

.

В силу властивості середньої лінії трикутника

, .

Отже, . Аналогічно знаходимо , . Тоді добуток  дорівнює . А цей добуток дорівнює –1 згідно з теоремою Менелая, яка застосовується до  та прямої . Теорема доведена.