Найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

1. Найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное в древневавилонских текстах, написанных в III-II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени.

Задача 1 “Площади двух своих квадратов я сложил: . Сторона второго квадрата равна  стороны первого и еще 5".

Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была известна, получает:

Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор приходит к квадратному уравнению:

Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время, автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его “Арифметики".

Задача 2. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов - 208".

Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:

Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, получает (в современных обозначениях):

Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант производит устно), получаем

x = 2 + 10; у = 10 - 2. Далее, х² + у² = (г + lO) ² + (10 - г) ² == 2z² + 200.

Таким образом,

2z² + 200 = 208,

 

Откуда

z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 - 2 = 8.

В поисках различных решений я обнаружил следующее.

Основные методы решения рациональных уравнений.

1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений - приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле

Также используется теорема Виета:

x₁ + x₂ = - b / a; x₁x₂ = c / a.

2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа - ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение (x² + x - 5) / x + 3x / (x² + x - 5) + 4 = 0,легко решается с помощью подстановки (x² + x - 5) / x = t, получаем t + (3/t) + 4 = 0. Или: 21/ (x² - 4x + 10) - x² + 4x = 6. Здесь можно сделать подстановку x² - 4 = t. Тогда 21/ (t + 10) - t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение

(x² + 2x) ² - (x +1) ² = 55.

Переписав его иначе, а именно (x² + 2x) ² - (x² + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x² + 2x=t.

Имеем t² - t - 56 = 0, t₁ = - 7, t₂ = 8. Осталось решить x² + 2x = - 7 и x² + 2x = 8. В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее". Например

1) Уравнение (x + a) ⁴ + (x + b) ⁴ = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t - (a + b) / 2.

2) Симметрическое уравнение (возвратное) a₀xⁿ + a₁x^{n - 1} + … + a₁x + a₀ = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1/x = t, если n - чётное; если n - нечётное, то уравнение имеет корень x = - 1.

3) Уравнение вида (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = l сводится к квадратному, если a + b = c + d и т.д.

4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + …+ a₁x + a₀ = 0 ищем в виде p / q, где p - делитель a₀, q - делитель a_n, p и q взаимно просты, pÎZ, qÎN.

5) “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что

f (x), если f (x) ³ 0,| f (x) | =

f (x), если f (x) < 0.

Это уже изученные методы и широко применяемые в практической математике. Выделенные жирным курсивом - это методы мною изучаемые 5) “Искусство", - это то, что мне предстоит найти.

Хотелось бы остановится на некоторых из них.

Метод Гаусса.

Пусть дана система линейных уравнений

 (1)

Коэффициенты a _11,12,..., a _1n,..., a _n1, b _2,..., b _n считаются заданными. Вектор - строка í x _1, x _2,..., x _n ý - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D = ç A ê = ç a _ij ç, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.

a). Если D ¹ 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено методом ГАУССА. б). Если D = 0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна, т.е. решений нет.