Метод "Искусство" - "свой метод"

1. метод "Искусство" - "свой метод"

2. метод замены переменных

Этапы исследования.

Основными методами решения систем являются метод подстановки и метод введения новых переменных.

Предлагается симметрическая система уравнений; стабильная замена переменных

Решение задач:

Старинная задача.

Три сестры пришли на рынок с цыплятами. Одна принесла для продажи 10 цыплят, другая 16, третья 26. До полудня они продали часть своих цыплят по одной и той же цене. После полудня опасаясь,, что не все цыплята будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся цыплят снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продаж 35 рублей.

По какой цене продали они цыплят до и после полудня?

Решение

Обозначим число цыплят проданных каждой сестрой до полудня, через х, у, z. Во вторую половину дня они продали 10 - х, 16 - у, 26 - z. Цену до полудня обозначим через m, после полудня - через n. Для ясности сопоставим эти обозначения.

Число проданных цыплят				цена
До полудня После полудня	Х 10 - х	У 16 - у	Z 26 - z	m n

Первая сестра выручила: m х + n (10 - х) следовательно, m х + n (10 - х) = 35, вторая: m у + n (16 - у) следовательно, m у + n (16 - у) =35, третья: m z + n (26 - z) следовательно, m z + n (26 - z) =35

Преобразуем эти три уравнения:

 m х + n (10 - х) = 35 (m - n) х +10 n =35

m у + n (16 - у) =35 ( m - n) у +16 n =35

m z + n (26 - z) =35 (m - n) z +26 n =35

Вычтя из третьего уравнения первое, затем второе, получим:

(m - n) (z - х) +16 n =0 (m - n) (z - х) =16 n

(m - n) (z - у) +10 n =0 или (m - n) (z - у) =10 n

Делим первое из этих уравнений на второе

х - z 8 х - z у - z

у - z = 5 или 8 = 5

так как х, у, z. - целые числа, то и у - z, х - z - тоже целые числа. Поэтому для существования равенства

х - z у – z, 8 = 5

необходимо, чтобы х - z делилось на 5, а у - z на 5. следовательно:

х - z у – z, 8 = t = 5

откуда х = z + 8 t у = z +5 t

Число t - не только целое, но и положительное, т.к х > z (в противном случае первая сестра не смогла бы выручить столько же, сколько третья).

Так как х <10, то z + 8 t < 10.

При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяет только в одном случае; когда z= 1 и t =1. Подставив эти значения в уравнения х = z + 8 t у = z +5 t находим х = 9, у = 6

Вернемся к уравнениям:

m х + n (10 - х) = 35

m у + n (16 - у) =35

m z + n (26 - z) =35

подставив в них найденные значения х, у, z., узнаем цены, по каким продавались цыплята. m = 3,75 рублей n - = 1,25 рублей

Итак, цыплята продавались до полудня по 3 рубля 75 копеек, после полудня по 1 рублю 25 копеек.

Эта задача, которая привела к трем уравнениям с 5 неизвестными, мы решили не общему образцу, а по свободному математическому соображению.

Очень много задач, таких как: отгадать день рождения, два числа и четыре действия, два двухзначных числа покупка галстуков, почтовых марок - решается приведением неопределенных уравнений второй степени - Диофантовы уравнения.

Глава 3. Результаты исследования и их практическая значимость

 

Метод “Искусство", т.е. решать примеры нестандартно, придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

Если работа в поисках более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки будет успешна, то практическая значимость будет очевидна.

Список использованной литературы

1.         Алгебра 8 класс. Н.Я. Виленкин. Москва, изд. "Просвещение", 1995.

2.         Задачи по математике для поступающих во ВТУЗы. Р.Б. Райхмист. Москва, изд. "Высшая школа", 1994.

3.         Готовимся к экзамену по математике. Д.Т. Письменный. Москва, изд. "Айрис", 1996.

4.         Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Вавилов В.В., Мельников И.И. Москва, изд. "Наука", 1987.

5.         Алгебра. Пособие для самообразования. С.М. Никольский. Москва, изд. "Наука", 1985.

6.         Справочник по методам решения задач по математике. А.Г. Цыпкин. Москва, изд. "Наука", 1989.

7.         Решение задач. И.Ф. Шарыгин. Москва, изд. "Просвещение", 1994.

8.         Математика. Алгебра и начала анализа. А.И. Лобанова. Киев, изд. "Ваша школа", 1987.

9.         Алгебра.9 класс. Н.Я. Виленкин. Москва, изд. "Просвещение", 1996.

10.      Алгебра в 6 классе Моска, изд. "Просвещение" 1977. ст 76-93

11.      Готовимся к олимпиадам по математике. У М.П. А.В. Фарков " Москва изд. "Экзамен" 2007г ст.102-105

12.      Алгебра 7 класс Москва, изд. "Просвещение", 1989г ст. 190-200

13.      Математика У. М.П. Алматы изд. "ШЫН" 2008 г ст.91

Приложение

Цель исследования.

Найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Гипотеза:

Проанализировав основные проблемы решение линейных систем уравнений с двумя переменными, можно сделать вывод. Главная проблема при решении систем линейных уравнений различными способами у учащихся это?

1) не умения, выражать одну переменную через другую. (в трех случаях)

2) не умение, подставить уже полученную переменную (в двух случаях)

И обе эти проблемы встречаются при решении линейных систем уравнений способом подстановки.

Кроме этого, решение задач составлением систем уравнений, по физике, алгебре, геометрии и химии для таких учащихся останутся недоступными. Поэтому я решил, заняться, поиском более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Я считаю, что моя работа, в этом направлении очень актуальна.

Методика эксперимента.

Моя основная цель, найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Поэтому я решил использовать метод “Искусство", т.е. решать примеры нестандартно, придумать “свой метод".

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных - его я тоже решил применить.

Итак, для решения проблемы я решил использовать два методы решений:

1. метод "Искусство" - "свой метод"

2. метод замены переменных

Этапы исследования.

Решение систем линейных уравнений и поиски "своего метода"

Новизна нашего исследования заключается в следующим.

Метод “Искусство", т.е. решать примеры нестандартно, придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д. - это всегда поиск чего то нового.

Практическая значимость.

Если работа в поисках более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки будет успешна то практическая значимость будет очевидна.