Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными

1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.

 (2).

Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем: Разделим все члены первого уравнения на , а затем, умножив полученное уравнение на , вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено, и получиться система вида:

 (3)

Теперь разделим второе уравнение системы (3) на , умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получиться система треугольного вида:

 (4)

Из последнего уравнения системы (4) находим , подставляя найденное

подставляя найденное значение в первое уравнение, находим .

Методом Гаусса решить систему:

Решение: Разделив уравнение (а) на 2, получим систему

Вычтем из уравнения (b) уравнение , умноженное на 3, а из уравнения (c) - уравнение , умноженное на 4.

Разделив уравнение  () на - 2,5, получим:

Вычтем из уравнения () уравнение , умноженное на - 3:

Из уравнения находим Z=-2; подставив это значение в уравнение , получим Y=0,2-0,4Z=0,2-0,4 (-2) =1; наконец, подставив значение Z=-2 и Y=1 в уравнение (a ¹⁾, находим X=0,5-0,5Y-Z=0,5-0,5 1 - (-2) =2. Итак, получаем ответ X=2, Y=1, Z=-2.

Проверка:

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a¹0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = - b /a.

Если a=0; b¹0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = - b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X₀ и Y₀, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. Y₀ = aX₀ + b.

Пример 1.1 Решить уравнение

2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

Пример 1.2 Решить уравнение 2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.

Решение.2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.

Ответ: Æ.

Пример 1.3 Решить уравнение.

2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5.

Решение.

2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,- 4x + 9 = 9 - 4x,

4x + 4x = 9 - 9,0x = 0.

Ответ: Любое число.

Системы линейных уравнений.

Уравнение вида

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b,

где a₁, b₁, …,a_n, b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

система не имеет решений;

система имеет ровно одно решение;

система имеет бесконечно много решений.

Пример: решить систему уравнений

 

x + y - z = 2,2

x - y + 4z = 1,

x + 6y + z = 5.

 

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем первое уравнение системы на - 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем - 3y + 6z = - 3. Это уравнение можно переписать в виде y - 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

x + y - z = 2,

y - 2z = 1 ,y = 1.

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Системы уравнений второй степени.

В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.

Пример. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

2x + y = 7,

xy = 6.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 - 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

y = 7 - 2x,

7x - 2x² = 6.

Квадратное уравнение - 2x² + 7x - 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3/2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2;3) и (1,5;4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х² для биквадратных уравнений и у = х + 1/х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример Решим уравнение 12/ (х² + 2х) - 3/ (х² + 2х - 2) = 1.

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать.

Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х² + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х² + 2х. Тогда уравнение примет вид

12/у - 3/ (у - 2) = 1 или (у² - 11у + 24) / (у (у - 2)) = 0,откуда y₁ = 3; y₂ = 8. Осталось решить уравнения х² + 2х = 3 (его корни х₁ = 1, х₂ = -3) и х² + 2х = 8 (его корни х₃ = 2, х₄ = -4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

Пример. Решим систему уравнений

2/х + 3/у = 8,5

/х - 2/у = 1.

Решение.

Обозначим 1/х через U, а 1/у через V.

Тогда система примет вид

2U + 3V = 8,5

U - 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5 (4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1/x = 1, 1/y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Однородные уравнения.

Пример Решим систему уравнений

8х² - 6ху + у2 = 0,

х² + у² = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у².

Получится уравнение

8х^2/у² - 6ху / у² + у^2/у² = 0 или

8х^2/у² - 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у.

Уравнение примет вид

8U² - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U₁ = 0,5; U₂ = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1/2, либо x / y = 1/4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х² = 5, откуда х₁ = 1, х₂ = - 1; соответственно у₁ = 2, у₂ = - 2.

Во втором случае получается уравнение17х² = 5, откуда х₃ = Ö (5/17), x₄ = -Ö (5/17); соответственно y₃ = 4Ö (5/17), y₄ = - 4Ö (5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x², 6xy, y²), одна и та же - она равна двум. Поэтому после деления на y² каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) - однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на y^{k (}если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

Решение симметрических систем уравнений.

Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x, y) = P (y, x).

При решении систем уравнений вида

P₁ (x, y) = 0,

P₂ (x, y) = 0,

где P₁ (x, y) и P₂ (x, y) - симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.

Пример Решить систему уравнений

x² + xy + y² = 49,

x + y + xy = 23.

Решение. Заметим, что:

x² + xy + y² = x² + 2xy + y² - x

y = (x + y) ² - xy.

Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V.

Система примет вид:

U² - V = 49,

U + V = 23.

Сложив эти уравнения, получим уравнение U² + U - 72 = 0 с корнями U₁ = 8,U₂ = -9. Соответственно V₁ = 15, V₂ = 32. Остаётся решить системы уравнений:

x + y = 8,xy = 15,

x + y = - 9,xy = 32.

Система x + y = 8, имеет решения:

x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5,

 y₂ = 3.xy = 15.

Система x + y = - 9, действительных решений не имеет. Ответ: x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5, y₂ = 3.

Глава 2. Методика исследования данной работы

Методика исследовании.

Моя основная цель, найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Поэтому я решил использовать метод “Искусство", т.е. решать примеры нестандартно, придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных - его я тоже решил применить.

Итак, для решения проблемы я решил использовать два методы решений: