Проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания

 2 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

11.12 Через произвольную точку кривой ху=2х+3 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 2 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

11.13 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой , ординатой точки касания и осью абсцисс равна 2.

11.14 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой , равна удвоенной абсциссе точки касания.

11.15 Через произвольную точку кривой у = 3х⁴ проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 3/4 абсциссы точки касания.

11.16 Через произвольную точку кривой у = х² + 18/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 27.

11.17 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у= –3х²–1, равна утроенному квадрату абсциссы точки касания.

11.18 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1/8 – 2х², равна расстоянию от точки касания до начала координат.

11.19 Через произвольную точку кривой ху = 8 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

11.20 Через произвольную точку кривой  проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую  в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

11.21 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 8/(2 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 4.

11.22 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=хlnx+9x, равна абсциссе точки касания.

11.23 Через произвольную точку кривой  проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 4/5 абсциссы точки касания.

11.24 Через произвольную точку кривой у=3х² + 8/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 12.

11.25 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у = 3х – х²/2 равна половине квадрата абсциссы точки касания.

11.26 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой , равна расстоянию от точки касания до начала координат.

11.27 Через произвольную точку кривой ху = 12 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

11.28 Через произвольную точку кривой ху+4х=2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую  в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

11.29 Доказать, что площадь треугольника, образованного между касательной к кривой у = 10/(4 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 5.

11.30 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=0,5хlnx+2x, равна половине абсциссе точки касания.

Задача 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:

12.1.  12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

12.8.

12.9.

12.10.

12.11.

12.12.

12.13.

12.14.

12.15.

12.16 12.17.

12.18.

12.19.  

12.20.

12.21.

12.22.

12.23.

12.24.

12.25.

12.26.

12.27.

12.28.

12.29.

12.30.

Задача 13. Исследовать функцию и построить график:

13.1. а)  , б)

13.2. а)  , б)

13.3. а)  , б)  

13.4. а)  , б)  

13.5. а)  , б)  

13.6. а)  , б)  

13.7. а)  , б)

13.8 а)  , б)

13.9. а)  , б)

13.10. а)  , б)

13.11. а)  , б)

13.12. а)  , б)  

13.13. а)  , б)

13.14. а)  , б)

13.15. а)  , б)

13.16. а) , б)

13.17. а)  , б)  

13.18. а) , б)  

13.19. а) , б)  

13.20. а)  , б)  

13.21. а) , б)

13.22. а)  , б)

13.23. а) , б)

13.24. а) , б)

13.25. а) , б)

13.26. а)  , б)  

13.27. а) , б)

13.28. а)  , б)

13.29. а) , б)

13.30. а) , б)

Глава 5. Семинарские занятия

§ 5.1 Cеминар: Применение производной при исследовании функции

Основные вопросы

1. Признаки монотонности функции.

2.Необходимое условие существования экстремума.

3. Критические точки на экстремум.

4. Достаточные условия существования экстремума.

5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

6. Выпуклость и вогнутость графика функции.

7. Точки, критические на перегиб.

8. Необходимое и достаточное условия существования перегиба.

9. Асимптоты графика функции.

Задания для семинара

№1 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:

а) , б) ,

в) , г) .

№2 При каких а функции монотонны всюду:

а), б) .

№3 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

а) , б) ,

в) , г) .

№4 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной точке х_о:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

№5 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.

а)  , б) .

№6 Определить выпуклость или вогнутость графика функции в окрестности указанных точек:

а) ,

б) .

№7 Найти асимптоты и построить график: а) ,

б) .

№8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:

а) , б) .

Задания для самостоятельной работы

№9 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:

а) , б) , в) .

№10 При каких а функции монотонны всюду:

а), б) .

№11 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

а) , б) ,

в) .

№12 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной точке х_о:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

№ 13 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.

а)  , б)  .

№ 14 Определить выпуклость или вогнутость графика функции в окрестности указанных точек:

а) ,

б) .

№ 15 Найти асимптоты и построить график:

а) , б) .

№16 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:

а), б) .

Ответы

2. а) ; б) при , при  .

3. а) при, при ,

;

б) ;

в)

;

г) )

4. а) , б) , в) нет экстремума, г) х_о не является критической точкой.

5. а) ,

; б) , ,.

6. а)- выпуклый график, -вогнутый; б) - выпуклый график, -вогнутый.

7. а)  - вертикальные асимптоты, наклонная асимптота,  ; б) горизонтальная асимптота, в)  .

8. а) ; б) .

10. a) , в) .

11. а) ,   б)  , в) .

12. а) , б) , в) нет экстремума, г) х_о не является критической точкой.

13. а) нет точек экстремума,

б)

14. а)- выпуклый график, -вогнутый; б) - вогнутый график, - выпуклый.

15. а) горизонтальные асимптоты,  ;

б) .

16. а) , б)

§ 5.2 Семинар: Неопределенный интеграл

Вопросы к семинару:

1. Первообразная и неопределенный интеграл.

2.Таблица интегралов. Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов.

3. Нахождение интегралов методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала.

4. Нахождение интегралов с помощью замены.

5. Метод интегрирования по частям.

Таблица простых интегралов

( х – независимая переменная)

 

 

 

 

 

 

Таблица интегралов сложных функций

 

Формула интегрирования по частям  

Таблица выбора функции U(x)

1
2
3

Правила применения таблицы:

1. Если подынтегральное выражение является произведением функций из разных строк таблицы, то за U принимается функция, стоящая в таблице выше. Оставшееся выражение принимается за dV. При этом, выбирая U , следует всегда заботиться о том, чтобы dV было легко интегрируемым.

2. Если же подынтегральное выражение будет произведением функций из одной строки, то за U можно принять любую из этих функций. При этом интегрирование по частям, как правило, применяют дважды и получают равенство - уравнение, в котором неизвестным является искомый интеграл.

Задания для семинара

№1 Вычислить с помощью таблицы интегралов

 

а), б) ,

в), г) .

№2 Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала

 

а), б) , в), г),

д) ,

е) ,

ж) ,

з) ,

и) .

№3 (Устно) Найти интегралы

а), б), в), г),

д) ,

е) ,

ж) , з) .

№4 Найти интегралы с помощью замены переменной:

а), б), в), г).

№5 Найти интегралы методом интегрирования по частям:

 

а) , б) , в) , г) . д) е) , ж)

Задания для самостоятельной работы

№6 Вычислить с помощью таблицы интегралов

 

а) ,

б) ,

в)  , г)  .

№7 Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала

 

а)  б), в) ,

г), д), е), ж),

з), и) , к) .

№8 Найти интегралы методом интегрирования по частям:

 

а)  , б) , в), г),

д)е). b)

Ответы к гл. 3

3.1 1) 24, 2) п(п+1)(п+2), 3) , 4) , 5)336, 6) 120, 7) 4950, 8) .

3.2 1) 6;11, 2) 5, 3) 7, 4) 5, 5) 4, 6) 13, 7) 2;3;4;5;6;7;8;9, 8) 5;6;7;8;9;10.

3.3 3) Доказательство.

  .

4) Доказательство. Используем равенство, доказанное в предыдущем номере. Имеем:

  

3.4 96. 3.5 А)125, б) 24. 3.6 350. 3.7 1605. 3.8 968.3.9 720. 3.10. а)  

б)  в)

 г)

. 3.11. 1) +3; -3, 2) +2; -2, 3)-2; 0, 4) 0; 2.

3.12 1) 3.14. 2) Доказательство. Для п=1 неравенство верно , т.к. . Пусть неравенство верно для всех номеров п от 1 до к. Докажем, что оно верно и для п = к +1. Имеем:

3.14. 5) Т.к. ,  и 48>36, то неравенство верно для п =2. Пусть оно верно для всех . Докажем, что оно верно и для п = к + 1. Имеем:

, что и требовалось.

3.16 Т.к. , то  целое и, следовательно, для п = 2 предложение выполняется. Пусть оно выполняется для всех . Докажем, что оно выполняется и для п = к + 1. Имеем:

, что и требовалось.

3.18 1)

 2)

 .

3.19 1) 0,2594, 2) 2,2359 , 3) 2,547.

3.20 1)—132—42i , 2) 23—5i , 3) 18+i , 4) 5) 2i—3,

3.21

3.22  

7) –i;--2—i, 8)-1-i;-3-i, 9) 3-3i ;3i-1, 10)3+i;1-2i, 11)-i;1 +2i.

3.23.

,   

3.24

 

3.25

 

3.26.

3.27.

3.28.

 

.

Ответы к ИДЗ: Пределы и непрерывность

Вариант 1. 1. 0. 2. -3. 4. -2. 5. 0. 6. 4. 7. . 8. 7. 9. . 10 а. 4. 10б. 1. 11. -1/6. Вариант 2. 1. . 2. -1/2. 4. 5/4. 5. 0. 6. . 7. . 8. . 9. . 10 а. 0. 10б. 1. 11. -1/6

Вариант 3. 1. 0. 2. -3. 4. -2. 5. 0. 6. 4. 7. . 8. 7. 9. . 10 а. 4. 10б. 1. 11. –1/6. Вариант 4. 1. -3/2. 2. 0. 4. 3. 5. -2/3. 6. -16. 7.  . 8. . 9. e^-1/2. 10 а. 1. 10б. . 11. 4.

Вариант 5. 1. . 2. 1/2. 4. 3/2. 5. . 6. 1/4. 7. -1/8. 8. -1/2. 9. 1/e. 10 а. 0. 10б. 1. 11. -3/128.

Вариант 6. 1. 5/2. 2. 3. 4. -1. 5. 0,6. 6. -1. 7. 1/4. 8. 2(1-ln3)/9 . 9. . 10 а. . 10б. 1. 11. -13/40.

Вариант 7. 1. . 2. -1/5. 4. 2. 5. 0. 6. -2e. 7. -2ln2 8. (-5/2)ln2. 9.  . 10 а. -1/2. 10б. 1. 11. -1/72.

Вариант 8. 1. 0. 2. 2/3. 4. 3. 5. 0. 6. -1/6. 7. . 8. 5ln3-7ln2. 9. 2e. 10 а. 2/3. 10б. 1. 11. -3/4.

Вариант 9. 1. 0. 2. 4/3. 4. 0. 5. 2,4. 6. . 7. -2/3π. 8. 2. 9. 3/7. 10 а. -1/2. 10б. 1. 11. -3/4.

Вариант 10. 1. . 2. -1. 4. 0. 5. 0. 6. -2/3. 7. 0. 8. . 9. 1. 10 а. . 10б. e³. 11. -4.

Вариант 11. 1. 1/2. 2. 1/2. 4.-3. 5. 4. 6. -1/2e. 7. 8. 8. ln700. 9. . 10 а. 1/64. 10б. . 11. -1.

Вариант 12. 1. . 2. 11/18. 4. 0. 5. 1,5, 6. 2/5. 7. π/8. 8. 3.

9. . 10 а. 0. 10б. 1. 11. 11/18.

Вариант 13. 1. 3. 2. 1. 4. -1/3. 5. . 6. -10. 7. . 8. 4. 9. . 10 а. 0. 10б. 0. 11. -13.

Вариант 14. 1. 0. 2. 1/8. 4. 3. 5. . 6. 1/π. 7. .

8. ln25/8. 9.  . 10 а. 1. 10б. 1. 11. -1/3.

Вариант 15. 1. 4. 2. 1/6. 4. -2/3. 5. -4/3. 6. 3/8. 7. .

8. 7ln2-5ln3. 9. 1/e. 10 а. 1. 10б. 1. 11. -0,3.

Вариант 16. 1. 1. 2. 1/6. 4. . 5. 1/4. 6. . 7. -8. 8. 3-ln2. 9. 1/5. 10 а. 1/6. 10б. 1. 11. -11/24.

Вариант 17. 1. 2. 2. 1/15. 4. -1. 5. -1/2. 6. . 7. -2. 8. -9. 9. . 10 а. -1/3. 10б. 1. 11. -1.

Вариант 18. 1. 1. 2. 1/5. 4. -2/5. 5. -1/2. 6. . 7. . 8. 5ln4-2ln9. 9. . 10 а. . 10б. 1. 11. -3.

Вариант 19. 1. -2. 2. -3. 4. 1/3. 5. 4/3. 6. -1/4. 7. . 8. ln12+3ln5. 9. 9. 10 а. 2. 10б. 1. 11. 1/12

Вариант 20. 1. 1. 2. -1. 4. 3. 5. . 6. . 7. 0. 8. . 9. . 10 а. 1. 10б. . 11. 1/16

Вариант 21. 1. 1. 2. 3/2. 4. 1/3. 5. 5/2. 6. -2/3. 7. 1/2. 8. 6. 9. . 10 а. -2. 10б. 1. 11. -1.

Вариант 22. 1. 1. 2. 5/2. 4. 2. 5. 1. 6. 7/2. 7. . 8. 5. 9. e^21/2. 10 а. 0. 10б. 0. 11. -8/3

 Вариант 23. 1. -2. 2. -7/2. 4. 2. 5. 1/3. 6. 1/12. 7. . 8.  . 9. . 10 а. -2. 10б. е. 11. -8/16

Вариант 24. 1. 2. 2. 5/4. 4. -9. 5. -1/3. 6. -3. 7. 2ln²3. 8. 2ln42. 9. e^-4/9. 10 а. 1. 10б. . 11. -1/4.

Вариант 25. 1. 2. 2. . 4. -7/8. 5. 2/27. 6. -5/3. 7. . 8. -1. 9. . 10 а. 0. 10б. 1. 11. -5

Вариант 26. 1. -1. 2. 2/3. 4. -5/8. 5. -11/4. 6. 1/8. 7. . 8. 2. 9. e^-3 . 10 а. -1/2 . 10б. 1. 11. 2.

Вариант 27. 1. -1. 2. 5/4. 4. 10/3. 5. 9/2. 6. 50. 7. . 8. . 9. e^1/3. 10 а. -1/3. 10б. 1. 11. 2.

Вариант 28. 1. -3/2. 2. 3. 4. 3/2. 5. -1/8. 6. -1. 7. . 8.  . 9. e². 10 а. 5/8. 10б. 1. 11. -2

Вариант 29. 1. 2. 2. 1/12. 4. 3/2. 5. 2/3. 6. 3/2. 7. . 8. -5/4. 9. . 10 а. . 10б. . 11. -27/4.

Вариант 30. 1. . 2. . 4. 0. 5.  . 6. 6. 7. . 8. 2ln7-3. 9. . 10 а. . 10б. 1. 11. .

Литература

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.М.: Наука, 1997.

2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.  М.: Наука, 1997.

3.. Виноградова И.А, Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу.М.: Наука, 1986.

4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике.  М.: Высшая школа, 1990.

5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике, ч. 1, Под ред. А.П. Рябушко. Минск: Высшая школа, 1990.

6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.  М.: Высшая школа, 1990.

7. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии.Минск: Высшая школа, 1990.

8. Галусарьян Р.Т. Введение в математический анализ. Обнинск: ИАТЭ, 2002.

9. Галусарьян Р.Т. Методические рекомендации и варианты контрольных работ по математическому анализу. Обнинск: ИАТЭ, 1998.

Редактор О.Ю. Волошенко

Компьютерная верстка Р.Т.Галусарьян

ЛР № 020713 от 27.04.98

Подписано к печати Формат бумаги 60х84/16

Печать ризограф, Бумага KYMLUX Печ. л 5

Заказ N Тираж 50 экз. Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ, 249040, г. Обнинск, Студгородок,1