Формула Байеса (формула переоценки вероятности гипотез)

4.2 Формула Байеса (формула переоценки вероятности гипотез)

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез  (см п.4.1). Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

 (4.2)

 

Задачи

 

Задача №53. 70% населения обследуемого региона имеет только среднее образование, среди которых 10% безработных, 30% населения – с высшим образованием, среди них 2% безработных. Если выбранный наугад человек является безработным, то какова вероятность того, что он закончил ВУЗ?

Решение. В качестве гипотезы примем:

Н₁ = {выбранный наугад человек со средним образованием};

Н₂ = { выбранный наугад человек со высшим образованием }.

Р(Н₁) = 0,7; Р(Н₂) = 0,3.

Пусть соб. А = {выбранный наудачу человек безработный}, тогда

P(A/H₁) = 0,1, P(A/H₂) = 0,02.

Нужно определить P( ) по формуле (4.2).

Имеем:

Задача №54. На сборочный конвейер поступили детали с 3-х станков, производительность которых неодинакова: I-го – 50% плана, II-го – 30% плана, III-го – 20% плана. Вероятность получения годного узла равна 0,92, если деталь I-го станка, 0,95,если деталь со II-го станка, 0,82, если деталь с III-го станка. Определить вероятность того, что в сборку попали детали, изготовленные на первом станке, если узел годный.

Решение. А = { узел годный};

Н₁ = {деталь с I-го станка};

Н₂ = {деталь со II-го станка};

Н₃ = {деталь с III-го станка};

Р(Н₁)=0,5; Р(Н₂)=0,3; Р(Н₃)=0,2.

Р(А/Н₁)=0,92; Р(А/Н₂)=0,95; Р(А/Н₃)=0,82.

 

Задача №55. 30% приборов собирают специалисты высокой квалификации, 70% - средней квалификации. Надёжность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации – 0,9, а специалистом средней квалификации – 0,8. Взятый наугад прибор оказался надёжным. Определить вероятность того, что прибор собран специалистом высокой квалификации.

Решение.

Пусть событие А = {прибор работает безотказно}.

До проверки прибора возможны 2 гипотезы:

Н₁ = {прибор собран специалистом высокой квалификации};

Н₂ = { прибор собран специалистом средней квалификации }.

Р(Н₁) = 0,3, Р(Н₂) = 0,7.

Условные вероятности события А равны:

P(A/H₁) = 0,9, P(A/H₂) = 0,8.

Пусть событие А произошло, тогда

.

Задача №56. Из 10 учащихся, которые пришли на экзамен по математике (нужно было подготовить 20 вопросов), трое подготовились на отлично (выучив по 20 вопросов), четверо – на хорошо, выучив по 16 вопросов, двое – на удовлетворительно, выучив по 10 вопросов, один не готовился и может ответить на 5 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Первый ученик ответил на все 3 вопроса своего билета. Какова вероятность того, что этот ученик подготовился на отлично?

Решение. Пусть событие А = {1-й ученик ответил на 3 вопроса} и гипотезы:

Н₁ = {1-й ученик подготовлен на 5};

Н₂ = {1-й ученик подготовлен на 4};

Н₃ = {1-й ученик подготовлен на 3};

Н₄ = {1-й ученик подготовлен на 2}.

P(H₁) = 0,3; P(H₂) = 0,4; P(H₃) = 0,2; P(H₄) = 0,1

P(А/H₁) = 1 (событие {1-й ученик ответил на 3 вопроса, при условии, что он выучил 20 из 20}, является достоверным).

 (вероятность правильного ответа на 1-й вопрос равна 16/20, на 2-й – 15/19, на 3-й – 14/18).

По формуле (4.2) имеем:

Вывод: учителю придётся предложить ученику ещё дополнительные вопросы.

Раздел 5. Случайные величины (с.в.)

5.1 Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной называют случайную величину, возможные значения которой есть изолированные числа (число их может быть конечным или бесконечным для счетного множества).

Зависимость вероятностей от возможных значений с.в. есть закон распределения дискретной с.в., который может быть представлен в виде ряда распределения, многоугольника распределения, функции распределения с.в.

При этом название закона распределения диктует формула, по которой вычисляются вероятности, соответствующие возможным значениям С.В. Ниже приведены наиболее часто встречающиеся на практике:

- биномиальный закон распределения дискретной с.в. X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p. Вероятность возможного значения Х= k по формуле Бернулли равна:

 (5.1)

- если n велико, а p в каждом испытании очень мало, то используется приближённая формула (распределение Пуассона):

, np (5.2)

Здесь

.

- если вероятность появления события А в каждом испытании p (), а Х – число испытаний до появления события А в серии независимых повторных испытаний, то пользуются формулой:

 (5.3)

Ряд вероятностей этого распределения будет бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q<1 и суммой, равной единице. Такое распределение называется геометрическим;

- в задачах статистического контроля качества часто используется гипергеометрический закон распределения дискретной с.в. При этом применяется формула:

 (5.4)

Здесь из совокупности n элементов, которая содержит m элементов определённого свойства (напр., среди n деталей ровно m бракованных), отбираются случайным образом k элементов. P(X=l) – это вероятность того, что среди k отобранных элементов ровно l элементов с определённым свойством.

- Кроме указанных законов распределения, на практике используются числовые характеристики с.в.:

-   математическое ожидание M(X);

-   дисперсия D(X);

-   среднее квадратическое отклонение X).

 (5.5)

 (5.6)

 (5.7)

 (5.8)

Для биномиального распределения (формула (5.1)) имеем:

M(X)=np (5.9)

D(X)=npq (5.10)

Для распределения Пуассона (формула (5.2)):

M(Х)=D(Х)=np= (5.11)

Задачи

 

Задача №57. В партии из 6-ти деталей 4 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной с.в. Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики с.в. Х.

Решение. Имеем гипергеометрический закон распределения с.в. Х:

Возможные значения Х:

  

Соответствующие вероятности вычисляются по формуле (5.4):

=

Имеем ряд распределения:

Х:		0	1	2	3
		0

 

Многоугольник распределения.

рис.3

Функцией распределения F(х) называется вероятность того, что с.в. Х в результате испытаний примет значение, меньшее х: F(x)=P(X<x)

В нашем случае имеем:

если х1, то F(x)=0,

если 1<x2, то F(x)=,

если 2<x3, то F(x)= 

если х>3, то F(x)=.

График этой функции на рис.4.

рис.4

Математическое ожидание (по формуле (5.5)):

 

Дисперсия (по формуле (5.7)):

Среднее квадратическое отклонение (по формуле (5.8 )):

Задача №58. В денежной лотерее 100 билетов, из них 1 составляет выигрыш в 50 грн, 10 – в 1 грн. Составить закон распределения с.в. Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Вероятность выигрыша 1 грн равна

,

аналогично получим

, .

Имеем ряд распределения с.в. Х:

	0	1	50
	0,89	0,1	0,01

Многоугольник распределения с.в. Х:

рис.5

Функция распределения.

рис.6

Задача №59. Среди 20-ти изделий 5 бракованных. Случайным образом выбираются 3 изделия для проверки их качества. С.в. Х – число бракованных изделий. Построить ряд распределения Х, найти М(Х), D(X), если Х=0,1,2,3.

Решение.

Имеем ряд распределения с.в. Х.

	0	1	2	3

Х:

Задача №60. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не более определённого числа литров в сутки), равна . Найти вероятности того, что в ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение 1-го, 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти, 6-ти дней.

Решение. Пусть с.в. Х – число дней, в течение которых расход воды будет нормальным. Тогда вероятности, соответствующие возможным значениям Х (от 1 до 6), будут вычисляться по формуле Бернулли (5.1) и распределение с.в. Х будет биномиальным.

Примечание: при вычислениях вероятностей удобно использовать формулу

Строим ряд распределения с.в. Х.

Х		1	2	3	4	5	6
		0,004	0,033	0,132	0,297	0,356	0,178

Строим многоугольник распределения с.в.Х.

рис.7

Очевидно, что наиболее вероятен перерасход воды в течение одного или двух дней из 6-ти.

Наиболее вероятным является нормальный расход воды в течение 5-ти дней:

Р(Х=5)=0,356.

 называется модой () с.в. Х.

Строим функцию F(x) распределения с.в. Х.

рис.8

Функция распределения аналитически может быть записана так:

F(x)

Задача №61. Игральная кость брошена три раза. Построить ряд и функцию распределения с.в. Х – возможного числа появления шестёрок.

Решение. Имеем схему Бернулли с

, , n=3.

 ; .

Ряд распределения Х имеет вид:

	0	1	2	3

Функция F(х) распределения с.в. Х имеет вид:

F(х)=

Строим график:

рис.9

Задача №62. Подлежат исследованию 1200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна р=0,09. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проб с промышленным содержанием металла.

Решение. Пусть с.в. Х – число проб с промышленным содержанием металла, тогда c.в. Х распределена по биномиальному закону.

Математическое ожидание вычисляем по формуле (5.9), дисперсию, соответственно, по формуле (5.10 ):

.

Задача №63. Тираж учебников составляет  экземпляров. Вероятность неверного брошюрования учебника равна  Записать ряд бракованных учебников среди данного тиража для возможных значений Х от 1 до 5.

Решение. Здесь

  

По формуле (5.2) мы получим все интересующие нас вероятности:

  

  

Имеем ряд распределения с.в. Х (закон Пуассона).

	1	2	3	4	5	6

Так,  (принимаем ).

Математическое ожидание числа бракованных экземпляров среди 10 книг при  равно:

Задача №64. Вероятность того, что с конвейера сойдёт k бракованных деталей равна . Построить ряд распределения для с.в. k и найти её математическое ожидание.

Замечание. для решения этой задачи понадобятся первоначальные сведения из теории рядов, или, по крайней мере, знание бесконечной убывающей прогрессии.

Решение.