Непрерывные случайные величины

5.2 Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной называют величину, которая может принимать любое числовое значение из некоторого конечного (a,b) или бесконечного интервала.

Множество возможных значений такой величины бесконечно.

Примером таких величин являются: величина ошибки при измерении расстояний, веса и др.; время бессбойной работы прибора, размеры детали, рост человека при обследовании определённой группы людей и др.

Закон распределения непрерывной с.в. имеет две формы:

интегральная функция распределения F(x) и дифференциальная функция распределения f(x).

- Как и в случае с дискретной с.в., интегральная функция распределения F(x) имеет вид:

F(x)=P(X<x) (5.12)

Но в отличие от ступенчатой линии для F(x) в случае с дискретной с.в. для непрерывной с.в. имеем непрерывную кривую для F(x).

Свойства F(x):

 

1)            0F(x)1;

2)            если >, то F()F();

3)            P(a<X<b)=F(b)-F(a); (5.13)

4)            P(X=)=0;

5)            если Х (a,b), то  ;

6)             .

- Дифференциальная функция распределения f(x) (плотность вероятности) есть производная от интегральной функции:

f(x)=

P(a<x<b)= (5.14)

(f(x)dx называется элементом вероятности)

F(x)= (5.15)

 

Свойства f(x):

 

1)            f(x);

2)             (5.16)

3)             (

Наиболее употребимыми являются следующие законы распределения непрерывной с.в. (задаются они формулой для f(x)):

- равномерное распределение вероятностей

Пусть [a,b] – шкала некоторого прибора. Вероятность p попадания указателя в некоторый отрезок шкалы [,] равна p=k(-), (k>0).

Тогда, так как

p(a<x<b)=1, то k(b-a)=1 k= 

 p(<x<)= F(x)=p(a<X<x)= (5.17)

График F(x) на рисунке 11.

рис.11

f (x)= (5.18)

рис.12

- показательное распределение

 (5.19)

F(x)= (5.20)

- нормальное распределение

 (5.21)

F(x)= (5.22)

Здесь a=M(x),  - параметры распределения с.в.Х.

График f(x) представлен на рис.13 и называется нормальной кривой (кривой Гаусса).

рис.13

При a=0,  имеем плотность нормированного распределения:

Эта функция табулирована (см. приложение 1), график её на рис.14.

рис.14

В этом случае интегральная функция распределения с.в.Х есть функция Лапласа:

 (5.23)

График функции Лапласа Ф(х) на рис.15.

рис.15

Из него видно, что:

1)         Ф(0)=0,

2)         Ф(-х)=-Ф(х),

3)        

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (c,d), находим по формуле:

 (5.24)

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа, равна:

, (5.25)

()

При а=0 справедливо равенство:

 (5.25а)

-    Числовые характеристики непрерывной с.в.:

- математическое ожидание M(X)

 (5.26)

 (5.27)

- дисперсия D(X)

 (5.28)

 (5.29)

Эти равенства можно заменить равносильными равенствами:

 (5.30)

 (5.31)

- среднее квадратическое отклонение

 (5.32)

При этом для равномерного распределения:

 (5.33)

 (5.34)

 (5.35)

Для показательного распределения

:

 (5.36);  (5.37);  (5.38).

Для нормального распределения:

M(X)=a (5.39);  (5.40);  (5.41).

Задачи

 

Задача №67. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать очередной автобус менее 3-х минут.

Решение. Пусть с.в. Т –время ожидания очередного автобуса – непрерывная случайная величина. Она распределена по равномерному закону с плотностью:

 (см. формулу (5.18) )

В нашем случае

0<t<5  

По формуле (5.14) имеем:

Искомая вероятность

p=0,6.

Задача №68. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округлены до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, не превышающая 0,04 (событие А).

Решение. Ошибку округления отсчёта можно рассматривать как с.в. Х, которая распределена равномерно в интервале между 2-мя соседними целыми делениями с плотностью

 ,

Ошибка отсчёта не превысит 0,04, если она будет заключена в (0; 0,04) или в(0,16;0,2). По формуле (5.14) имеем:

Искомая вероятность

р=0,4.

Задача №69. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичское отклонение с.в. Х, распределённой равномерно в интервале (2,8).

Решение. По формулам (5.32)-(5.34) получим:

.

Задача №70. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону, заданному при  дифференциальной функцией ; при х<0  Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (0,3; 1).

Решение. Исходя из формулы (5.19),

Пользуясь формулой (5.14), получим:

.

Искомая вероятность приближённо равна 0,414.

Задача №71. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону

.

Найти числовые характеристики с.в. Х и вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (2,5).

Решение.

1)         Из формул (5.36)-(5.38) получим:

  

2)         Из формулы (5.14) следует, что:

 

.

Задача №72. Задана плотность распределения количества прибыли Х:

Найти коэффициент a и вероятность получения величины прибыли Х из отрезка [0,5; 1] млн.гр

Решение.

1) В соответствии с определением модуля х:

– имеем:

 

3)         Используя формулу (5.16) и свойство аддитивности несобственного интеграла, получаем:

рис.16

 .

4)         Используя формулу (5.14), получим:

Примечание. Подынтегральная функция , т.к. отрезок [0,5; 1] принадлежит положительной части оси Ох.

Ответ:

 

Задача №73. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределения случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключённое в интервале (15,25).

Решение. Воспользуемся формулой (5.24). Подставив

c=15, d=25, a=20, ,

получим:

По таблице (приложение 2) находим Ф(1)=0,3413 

Ответ:

Задача №74. Контролируется длина Х выпускаемой детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая длина детали не менее 32 мм и не более 68 мм.

Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:

а) больше 55 мм;

б) меньше 40 мм.

Решение.

1) Событие  является достоверным

С другой стороны, по формуле (5.24):

Приравниваем правые части равенств для

=1

Теперь имеем: математическое ожидание с.в. Х а=50, среднее квадратическое отклонение

2) Найдём

0,0823.

3)

Задача №75. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы выполнялось равенство: ?

Решение. Согласно формуле (5.25) имеем:

 

Из таблицы Ф(х) (приложение 2) находим:

Мы получили "правило 3-х сигм": вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределённой случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Ответ: (а-3, а+3).

Задача№76. Станок автомат изготавливает детали, длина которых по стандарту может отклоняться от 125 мм не более, чем на 0,5 мм. Среди продукции станка 7% нестандартной.

Считая, что длины деталей имеют нормальное распределение, найти их дисперсию.

Решение. Пусть с.в. Х – длина детали, а=М(Х)=125.

Из условия:

Согласно формуле (5.24) имеем:

Так как станок даёт 7% нестандартной продукции, то:

 

Искомая дисперсия

D(X)=

Задача №77 ("из жизни хищников").

Для некоторого хищника вероятность удачной охоты равна 0,4 при каждом столкновении с жертвой.

Найти математическое ожидание с.в. Х – числа пойманных жертв при 20-ти столкновениях.

Решение. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону при п=20, р=0,4.

Согласно формуле (5.9), имеем:

Приложение 1

Таблица значений функции

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002	3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002	3989 3961 3894 3790 3652 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002	3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002	3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002	3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002	3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 000	3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002	3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1756 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001	3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001

 

Приложение 2

Таблица значений функции

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32	0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255	0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65	0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422	0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98	0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365	0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31	0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049	1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64	0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83	0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664	1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04	0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793	2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42	0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922	2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80	0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974	2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00	0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997

Литература

1.         Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Математика для економістів. Теорія імовірностей та математична статистика – К.: 1999 – 447с.

2.         Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности – М.: Наука – 1969 – 400с.

3.         Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбінаторики – М.: Наука – 1977.

4.         Жалдак М.И., Квитко А.Н. Теория вероятностей с элементами информатики. Практикум – К.: "Выща школа" – 1989.

5.         Жалдак М.І. початки теорії ймовірностей – К.: Рад.шк.. – 1978 – 144с.