Сбалансированные траектории

2. Сбалансированные траектории

Прежде всего, определим сбалансированные траектории. Пусть модель задана уравнением (2), и .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Следующие три определения эквивалентны.

А. Траектория называется сбалансированной, если

(3)

(4)

Б. Траектория называется сбалансированной, если

В. Траектория называется сбалансированной, если

Равенство (3) представляет собой основную гипотезу модели Солоу (Solow, 1956). Равенство (4) – это один из пяти стилизованных фактов экономического роста, сформулированных Кальдором (Kaldor, 1961), этот факт входит в явном виде в формулировку AK-модели (Frankel, 1962). Равенство

(вместе с гипотезой о постоянном темпе роста труда) представляет еще один стилизованный факт Кальдора: душевой выпуск растет темпом, который примерно постоянен.

При доказательстве предложения 1 будет использоваться следующая лемма.

ЛЕММА 1. Если величины  - ненулевые, имеют постоянные темпы, и

,

то их темпы роста совпадают.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ. Предположим противное:

,

.

Пусть, для определенности, . Тогда

.

При , левая часть равенства стремится к постоянной , тогда как модуль правой части стремится к 0 или к . Полученное противоречие показывает, что ■

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ. АБ. Из (2) следует, что

Здесь правая часть постоянна, следовательно

, тогда  (в силу (4)) и  (в силу (3)).

БВ. Из (2) следует, что

.

Левая часть постоянна, а слагаемые в правой части имеют постоянные темпы прироста. По лемме, темпы прироста величин

 равны, следовательно, Поскольку , из (2) вытекает, что

В этом равенстве правая и левая части имеют постоянные темпы прироста, следовательно, эти темпы совпадают:

ВА. Очевидно ■

Обозначим общий темп прироста переменных на сбалансированной траектории через . Следствием предложения 1 является следующее утверждение, которое можно рассматривать как обобщение теоремы Узавы (см. далее предложение 3). Введем обозначение .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Всякая сбалансированная траектория может быть построена при помощи двухфакторной производственной функции с трудосберегающим техническим прогрессом

(5)

где G – неоклассическая функция (т.е. обладающая стандартными свойствами производственной функции, в частности, имеющая постоянную отдачу от масштаба – CRS). При этом темп прироста технического прогресса совпадает с темпом прироста душевого дохода:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть  – произвольная неоклассическая функция. Можно подобрать число  так, что

.

Пусть

Тогда на сбалансированной траектории

по свойству CRS

 по предложению 1

■

Таким образом, если модель задана посредством некоторой CRS производственной функции F, то на сбалансированной траектории может действовать также и другая CRS производственная функция G любого вида с трудосберегающим техническим прогрессом. Отсюда следует невозможность однозначного выбора производственной функции, если наблюдаемая траектория - сбалансированная.

Заметим, что полученное в предложении 2 представление G производственной функции не связано со структурой изначально заданной функции F. На сбалансированной траектории значения функций F и G совпадают, однако функция G не наследует никаких других свойств функции F.

Смысл предложения 2 весьма прозрачен. Как следует из предложения 1, на сбалансированной траектории капитал и выпуск растут общим темпом, а рост труда «не дотягивает» до этого темпа. Если технический прогресс придаст эффективному труду необходимую добавку темпа, то капитал и эффективный труд будут расти одним темпом, что обеспечит роста выпуска тем же темпом.

Вид (5) – не единственный вид производственной функции, который приводит к данной сбалансированной траектории. Например, ту же сбалансированную траекторию может определять функция Леонтьева или производственная функция AK-модели

где

Такого рода неоднозначность уменьшается, если ограничить множество сбалансированных траекторий условием постоянства долей факторов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 (Теорема Узавы – см. Uzawa, 1961, Jones, Scrimgeour, 2005). Если модель определена непрерывно дифференцируемой CRS производственной функцией , и на сбалансированной траектории доли факторов

постоянны во времени[5], то (5) – единственно возможное представление производственной функции F на этой траектории.

Доказательство см. в Jones, Scrimgeour, 2005■

Хотя предложение 3 сужает, по сравнению с предложением 2, класс производственных функций, пригодных для построения сбалансированной траектории, оно не позволяет выявить вид функции F вне этой траектории. Т.е. невозможно однозначно специфицировать производственную функцию, наблюдая лишь одну сбалансированную траекторию.

Пусть, например,

 - сбалансированная траектория,

  - известные доли капитала и труда на этой траектории, и мы хотим специфицировать CES функцию

В таком случае начальный уровень технического прогресса  и параметры CES функции  удовлетворяют системе уравнений

Однако, тройка  определяется этой системой неоднозначно.

Особенность двухфакторной функции Кобба-Дугласа в том, что для нее множитель  может трактоваться не только как трудосберегающий (нейтральный по Харроду) технический прогресс, но еще и как капиталосберегающий (нейтральный по Солоу) и как увеличивающий TFP (нейтральный по Хиксу) прогресс:

.

Поэтому теорему Узавы формулируют еще так: если на сбалансированной траектории доли факторов постоянны, то либо имеет место трудосберегающий технический прогресс, либо действует производственная функция Кобба-Дугласа.

Применительно к трехфакторной функции с природными ресурсами предложение 2 может быть переформулировано следующим образом.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть сбалансированная траектория такова, что . Тогда эта траектория может быть построена при помощи трехфакторной производственной функции с трудосберегающим и ресурсосберегающим техническим прогрессом

, (6)

где , G – неоклассическая функция.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Аналогично доказательству предложения 2, для произвольной CRS функции G подберем числа  так, что

.

Определим функции

Тогда на сбалансированной траектории

по свойству постоянной отдачи от масштаба

 по предложению 1

■

Обобщением теоремы Узавы для случая трехфакторной модели является следующее утверждение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если модель определена непрерывно дифференцируемой CRS производственной функцией

и на сбалансированной траектории доли факторов

постоянны во времени, то (6) – единственно возможное представление производственной функции на этой траектории.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем обозначения

Заметим, что при экзогенно заданных

траектория

определена последовательностью  (восстанавливается по этой последовательности), таким образом можно представить траекторию как

.

На произвольной траектории в момент t, эластичность y по x равна отношению доли капитала  к суммарной доли остальных двух факторов:

. (7)

Действительно,

следовательно

,

отсюда

,

т.е.

,

откуда следует (7).

В силу предложения 1, на сбалансированной траектории величина

 сохраняется

На сбалансированной траектории с постоянными долями факторов имеет место равенство

.

Решая это дифференциальное уравнение, получаем

,

где  - некоторые функции. Отсюда, аналогично тому, как это сделано в Jones, Scrimgeour, 2005 для двухфакторной производственной функции, можно получить, что

.

Поскольку труд  и используемые природные ресурсы  входят в формулировку модели симметрично, функция  также сепарабельна, т.е.

 ■

Для функции Кобба-Дугласа

технический прогресс можно трактовать как трудо- и ресурсосберегающий одновременно, но еще и как только трудосберегающий, только ресурсосберегающий, а также как капиталосберегающий или как увеличивающий TFP.

Функция CES

обладает тем достоинством, что доли факторов на сбалансированной траектории постоянны, если прогресс является трудосберегающим и ресурсосберегающим. Действительно, пусть

,

Тогда доля труда на сбалансированной траектории равна

Аналогично проверяется постоянство доли природных ресурсов на сбалансированной траектории.