Темпы прироста на сбалансированных траекториях

3. Темпы прироста на сбалансированных траекториях

Пусть выпуск описывается производственной функцией (1), и общая производительность факторов A, труд L и использование природных ресурсов N меняются постоянными темпами, равными ,  и , соответственно. Вычислим темп прироста  на сбалансированной траектории.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. На любой сбалансированной траектории

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство между собой темпов прироста величин  доказано в предложении 1. Запишем производственную функцию (1) в темпах прироста:

.

Отсюда находим ■

Приведем также ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 6. Следуя трехфакторному варианту теоремы Узавы (предложению 5), обозначим через  и  вносимые техническим прогрессом добавки к темпам прироста труда и природных ресурсов, соответственно, которые обеспечивают движение по сбалансированной траектории. Имеет место система уравнений:

Отсюда находим , а также

 ■

В более общем случае, когда  - дифференцируемая производственная функция с постоянной отдачей от масштаба по первым трем переменным, предложение 6 обобщается следующим образом.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. На любой сбалансированной траектории

где темп технического прогресса определен как

доли труда и ресурсов– как эластичности

,

доля капитала равна

(Значения переменных берутся в точке на сбалансированной траектории)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем

,

откуда

.

С учетом предложения 1,

.

Отсюда, используя теорему Эйлера, получаем

 ■

Таким образом, в случае функции Кобба-Дугласа (1), темп прироста  величин  - один и тот же на всех сбалансированных траекториях. Он определяется темпами роста первичных факторов (труда и используемых природных ресурсов) и темпом изменения TFP, а также долями факторов в доходе (эластичностями выпуска по факторам).

Значения  (потребление как доля ВВП) и  (капиталоотдача) различаются на сбалансированных траекториях, они зависят от начального значения капитала  при данных значениях .

Находим

и, с учетом (2),

, (8)

.

По определению А в предложении 1, каждая сбалансированная траектория является траекторией Солоу. Вычислим для нее норму накопления:

. (9)

Теперь мы хотим сравнить между собой различные сбалансированные траектории с одинаковыми начальными , чтобы понять, какая из них лучше с точки зрения потребления.

Поскольку сбалансированные траектории не отличаются темпами роста, сбалансированная траектория, которая имеет наибольший уровень потребления в начальный момент времени, имеет его и в дальнейшем при любом t среди всех сбалансированных траекторий с данными

.

Из (8) следует, что

Максимум по  достигается при

Соответствующая сбалансированная траектория имеет вид

,

,

где

Как следует из (9), для этой сбалансированной траектории норма накопления равна

.

Можно назвать эту траекторию сбалансированной траекторией золотого правила.

Предельный продукт капитала на сбалансированной траектории золотого правила равен

,

т.е., как и в стандартной модели Солоу, золотое правило состоит в равенстве

предельного продукта капитала сумме темпа прироста и коэффициента износа.

Подчеркнем, что стационарного состояния в смысле

в рассматриваемой модели не существует, поскольку капитал и труд имеют разные темпы роста на сбалансированной траектории. Как и в стандартной модели Солоу с трудосберегающим техническим прогресом с двухфакторной производственной функцией, можно рассматривать стационарное состояние вида

где  - эффективный труд. Однако, мы введем новые фазовые траектории другим способом, аналогично тому, как это сделано в Lucas, 1988.

Поскольку в нашей модели действует единый темп прироста  на всех сбалансированных траекториях, естественно ввести фазовые переменные

.

При этом каждая сбалансированная траектория превращается в точку на фазовой плоскости

На любой траектории (не обязательно сбалансированной)

.

Справедливы равенства

.

Уравнение (2) превращается в

. (10)