Несбалансированные траектории Солоу

4. Несбалансированные траектории Солоу

Как видно из определения А в предложении 1, всякая сбалансированная траектория является траекторией Солоу (т.е. траекторией, на которой потребление составляет постоянную долю выпуска). Покажем, что, наоборот, всякая траектория Солоу является асимптотически сбалансированной.

На траектории Солоу с нормой накопления

, уравнение (10) принимает вид

.

Отсюда находим для траектории Солоу стационарное фазовое состояние

и темп прироста фазовой переменной :

Видим, что стационарное фазовое состояние  глобально устойчиво, причем темп прироста  уменьшается по модулю по мере приближения фазовой траектории к .

Что же касается самой траектории Солоу в переменных

то она является асимптотически сбалансированной. Поскольку

темп прироста  изменяется монотонно и приближается к .

Ошибочно полагать (как это делают Гилфасон и Зоега), что для траектории Солоу имеет место сходимость к стационарному состоянию по переменной . Переменные  растут асимптотически разными темпами, за исключением случая, когда совпадают темпы экзогенных переменных .

5. Траектории модели Рамсея-Касса-Купманса

Сформулируем задачу поиска оптимальной траектории:

,

 (2)

, , (1)

,

 заданы

Применяя принцип максимума Л.С.Понтрягина, построим гамильтониан текущего значения

и выпишем условия оптимальности

, (11)

, (12)

а также (2).

Условие (11) дает

,

отсюда и из (12) следует, что

В частности, рассмотрим случай

Тогда

и мы приходим к системе дифференциальных уравнений

, (2)

При переходе к фазовым переменным , эта система превращается в

, (10)

.

Стационарное фазовое состояние равно

,

Ему соответствует сбалансированная траектория, для которой

,

ее можно назвать сбалансированной траекторией модифицированного золотого правила.

Матрица Якоби в точке  имеет вид

Определитель этой матрицы отрицателен, следовательно, стационарное фазовое состояние представляет собой седловую точку. Таким образом, оптимальные траектории-решения задачи Рамсея-Касса-Купманса при данных начальных  сходятся асимптотически к сбалансированной траектории модифицированного золотого правила.

Норма накопления на сбалансированной траектории модифицированного золотого правила, согласно (9), равна

.

Видим, что норма накопления отрицательно зависит от нормы дисконтирования  (более терпеливое общество сберегает больше) и положительно связана с темпом роста .

Норма накопления и капитал на сбалансированной траектории модифицированного золотого правила при любой норме дисконтирования оказываются меньше, чем на сбалансированной траектории золотого правила, т.е. долгосрочное качество сбалансированной траектории модифицированного золотого правила всегда хуже. Это можно объяснить выбором критерия оптимальности. При данном интегральном критерии, цель фактически состоит не в оптимальном устойчивом (т.е. долгосрочном) росте, а в обеспечении максимального дисконтированного потребления на относительно близком промежутке времени: «хвост» интеграла имеет слишком малый вес, чтобы влиять существенно на выбор траектории.

Ситуация меняется, если использовать критерий оптимальности, аналогичный тому, которым пользовался Лукас [Lucas, 1988]:

Тогда условие оптимальности (11) меняется на

Откуда

,

.

В случае, когда

приходим к системе дифференциальных уравнений

, (2)

,

которая, при переходе к фазовым переменным , превращается в

, (10)

.

Стационарное фазовое состояние равно

,

,

а норма накопления

.

Видим, что при  сбалансированная траектория модифицированного золотого правила совпадает со сбалансированной траекторией золотого правила. Это условие состоит в равенстве субъективной нормы дисконтирования «биологической процентной ставке», о которой писал Самуэльсон (Samuelson, 1958), рассматривая модель перекрывающихся поколений. При  (нетерпеливое общество) норма накопления и капитал меньше, чем при золотом правиле Солоу, а при  (терпеливое общество) – больше. Заметим, что в терпеливом обществе предельный продукт капитала меньше, чем в нетерепеливом обществе, т.е. причиной повышенных инвестиций в терпеливом обществе является не более высокая процентная ставка, а иные межвременные предпочтения.