СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

 

Различия индивидуальных значений признака у единиц совокупности называются вариацией признака. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под совместным влиянием разнообразных условий (факторов), по-разному сочетающихся в каждом отдельном случае.

Изучение вариации в пределах однородной группы предполагает использование следующих приемов: построение вариационного ряда (ряда распределения), его графическое изображение, исчисление основных характеристик распределения.

Вариационный ряд - групповая таблица, построенная по количественному признаку, в сказуемом которой показывается число единиц в каждой группе. Форма построения вариационного ряда зависит от характера изменения изучаемого признака, он может быть построен в форме дискретного ряда или в форме интервального ряда.

По характеру вариации значений признака различают:

• признаки с прерывным изменением (дискретные);

* признаки с непрерывным изменением (непрерывные).

Признаки с прерывным изменением могут принимать лишь конечное число определенных значений (например, тарифный разряд рабочих, число детей в семье, число станков, обслуживаемых одним рабочим). Признаки с непрерывным изменением могут принимать в определенных границах любые значения (например, стаж работы, пробег автомобиля, размер дохода и т. д.).

Для признака, имеющего прерывное изменение и принимающего небольшое количество значений, применяется построение дискретного ряда. В первой графе ряда указываются конкретные значения каждого индивидуального значения признака, во второй графе - численность единиц с определенным значением признака.

Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный вариационный ряд, состоящий, так же как и дискретный ряд, из двух граф (варианты и частоты). При его построении в первой графе отдельные значения признака указываются в интервалах «от - до», во второй графе - число единиц, входящих в интервал. Интервалы образуются, как правило, равные и закрытые.

Величина интервала определяется по формуле

i = R/m

где R - размах колебания (варьирования) признака;

т - число групп.

Число групп приближенно определяется по формуле Стерджесса:

т = 1 +3,322 lg n,

где п - общее число единиц совокупности.

Полученную по этой формуле величину округляют до целого числа, поскольку количество групп не может быть дробным числом.

При небольшом объеме информации (численности единиц в совокупности) число групп может быть установлено исследователем без использования формулы Стерджесса.

Величину интервала обычно округляют до целого (всегда большего) числа, исключение составляют лишь случаи, когда изучаются малейшие колебания признака (например, при группировке деталей по величине размера отклонений от номинала, измеряемого в долях миллиметра).

Нижнюю границу первого интервала принимают равной минимальному значению признака (чаще всего его предварительно округляют до целого числа); верхняя граница первого интервала соответствует значению (дс_т)п + /). Для последующих групп границы определяются аналогично, т. е. последовательно прибавляется величина интервала. Если единица обладает значением признака, равным величине верхней границы интервала, то ее следует относить к следующей группе.

Примером интервального вариационного ряда служит табл. 3.1.

Таблица 3.1 Выполнение норм выработки рабочими цеха

Частоты ряда (f) могут быть заменены частостями (w), которые представляют собой частоты, выраженные в относительных числах (долях или процентах) и рассчитанные путем деления частоты каждого интервала на их общую сумму, т. е.

Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. В табл. 3.2 по данным табл. 3.1 исчислены частости и накопленные частоты. Частости в долях исчислялись так:

Таблица 3.2 Выполнение норм выработки рабочими цеха

Частости в процентах:

0,022 • 100 = 2,2%; 0,245 • 100 = 24,5% и т. д.

Накопленные частоты:

2+ 22 = 24; 24+ 48 = 72; 72 +16 = 88; 88+2 = 90.

Если вариационный ряд дан с неравными интервалами, то для правильного представления о характере распределения необходимо произвести расчет абсолютной или относительной плотности распределения.

Абсолютная плотность распределения (р) представляет собой величину частоты, приходящейся на единицу размера интервала отдельной группы ряда: р =f/i

Относительная плотность распределения (р') - частное от деления частости (w) отдельной группы на размер ее интервала: р' - w/i

Первым этапом изучения вариационного ряда является его графическое изображение. Дискретный вариационный ряд изображается в виде так называемого полигона, или многоугольника, распределения частот, являющегося разновидностью статистических ломаных. Для изображения интервального ряда применяются полигон распределения частот и гистограмма частот.

Строятся графики в прямоугольной системе координат. При построении полигона частот на оси абсцисс в одинаковом масштабе откладываются направо в порядке возрастания значения признака (для дискретного характера) или центральные значения интервалов (для интервальных рядов); по оси ординат наносится шкала для выражения величин частот. Из точек на оси абсцисс, соответствующих величине признака, восстанавливаются перпендикуляры высотой, соответствующей частоте; вершины перпендикуляров соединяются отрезками прямой. Крайние точки полученной ломаной соединяются с лежащими на оси абсцисс следующими (меньшими и большими) возможными, но фактически не наблюдающимися значениями признака, частота которых, очевидно, равна 0. Замкнутая с осью абсцисс ломаная линия представляет полигон распределения частот.

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на интервалах с высотой в масштабе оси ординат. В случае неравенства интервалов гистограмма строится не по частотам или частостям, а по плотности распределения.

В ряде случаев для изображения вариационных рядов используется кумулятивная кривая (кумулята), она особенно удобна для сравнения вариационных рядов. Накопленные частоты наносятся на чертеж в виде ординат; соединяя вершины отдельных ординат прямыми, получают ломаную линию, которая, начиная с нуля, непрерывно поднимается над осью абсцисс, до тех пор пока не достигнет высоты, соответствующей общей сумме частот.

При построении графических изображений вариационного ряда большое значение имеет соотношение масштабов по оси абсцисс (х) и оси ординат (f). В этом случае следует руководствоваться так называемым «правилом золотого сечения», в соответствии с которым высота графика должна быть примерно в два раза меньше его основания.

Для анализа вариационных рядов используются три группы показателей:

• показатели центра распределения;

• показатели степени вариации;

• показатели формы распределения.

Показатели центра распределения

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду применяются: средняя арифметическая, медиана, мода.

Средняя арифметическая для дискретного ряда распределения исчисляется по формуле:

где х - варианты значений признака;

f - частота повторения данного варианта.

Средняя арифметическая для интервального ряда распределения:

где х' - середина соответствующего интервала значения признака.

Медиана (Ме) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

где п - число единиц в совокупности.

По накопленным частотам определяют ее численное значение в дискретном вариационном ряду.

В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором находится медиана.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

Численное значение медианы определяется по формуле:

где х_Ме - нижняя граница медианного интервала;

i - величина интервала;

S(-1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f- частота медианного интервала.

Мода (Мо) - наиболее часто встречающееся значение признака. В дискретном ряду - это варианта с наибольшей частотой. В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, т. е. тот интервал, который имеет наибольшую частоту.

Конкретное значение моды определяется по формуле:

Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда. Медиана определяется по кумуляте. Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной.

Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Показатели вариации (колеблемости) признака

Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся:

• размах колебаний;

• среднее линейное отклонение;

• среднее квадратическое отклонение;

• дисперсия;

• квартильное отклонение.

Размах колебаний (размах вариации)

где Xmax u Xmin - соответственно максимальное и минимальное значения признака. Величина показателя зависит от величины только двух крайних вариант и не учитывает степени колеблемости основной массы членов ряда.

Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения. Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных (первичного ряда)

б) для п вариационного ряда

Среднее квадратическое отклонение (ơ) и дисперсия (ơ²) определяются так:

а) для несгруппированных данных

б) для вариационного ряда

Формула для расчета дисперсии может быть преобразована:

т.е. дисперсия равна средней из квадратов индивидуальных значений признака минус квадрат средней величины. Следовательно,

Среднее квадратическое отклонение по своей величине всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойством мажорантности средних.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используются относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане) и чаще всего выражаются в процентах.

Формулы расчета относительных показателей вариации следующие:

коэффициент осцилляции

относительное линейное отклонение

коэффициент вариации

Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Его применяют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Сложение дисперсий изучаемого признака

Изучая дисперсию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в расчетах, нельзя оценить влияние отдельных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака. Это можно сделать при помощи метода группировок, когда единицы изучаемой совокупности подразделяются на однородные группы по признаку-фактору. При этом кроме общей средней для всей совокупности исчисляются средние по отдельным группам (групповые или частные средние) и три показателя дисперсии:

• общая дисперсия;

• межгрупповая дисперсия;

• средняя внутригрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии (Q₀²) характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности, и определяется по формуле

где х_o - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних δ²) отражает систематическую вариацию, т. е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Межгрупповая дисперсия определяется по формуле

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.

Средняя внутригрупповая дисперсия определяется по формуле

где ơi² - дисперсия по отдельной группе;

Указанные дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии:

Это тождество отражает закон (правило) сложения дисперсий. Опираясь на это правило, можно определить, какая часть (доля) общей дисперсии складывается под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Вариации альтернативного признака

Альтернативный признак - качественный признак, имеющий две взаимоисключающие разновидности (например, работники предприятия подразделяются на мужчин и женщин; продукция - на годную и бракованную и т. д.).

Альтернативный признак принимает всего два значения:

1 - наличие признака;

О - отсутствие признака.

p+q=1

где р - доли единиц, обладающих признаком;

q - доли единиц, не обладающих признаком.

Среднее значение альтернативного признака

Дисперсия альтернативного признака

Предельное значение вариации альтернативного признака равно 0,25; оно получается при p = q = 0,5.

Показатели формы распределения

Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). В практике статистических исследований приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однр-родных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателей асимметрии и эксцесса.

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывается относительный показатель асимметрии (A_s):

Величина показателя асимметрии А_s может быть положительной и отрицательной. Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии. Отрицательный знак показателя асимметрии говорит о наличии левосторонней асимметрии. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности. Принято считать, что если коэффициент асимметрии меньше 0,25, то асимметрия незначительная, если свыше 0,5, то асимметрия значительная.

Кривые распределения

Наиболее надежный путь выявления закономерностей распределения - увеличение количества наблюдений. По мере увеличения количества наблюдений (в пределах той же однородной совокупности) при одновременном уменьшении величины интервала закономерность, характерная для данного распределения, будет выступать все более и более ясно, а представляющая полигон частот ломаная линия будет приближаться к некоторой плавной линии и в пределе должна превратиться в кривую линию.

Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде, называется кривой распределения.

В настоящее время изучено значительное число различных форм распределений. В практике статистических исследований часто используется распределение Пуассона, Максвелла, особенно нормальное распределение. Распределения, близкие к нормальному распределению, были обнаружены при изучении самых различных явлений как в природе, так и в развитии общества.

В статистической практике большой интерес представляет решение вопроса о том, в какой мере можно считать полученное в результате статистического наблюдения распределение признака в исследуемой совокупности, соответствующее нормальному распределению.

Для решения этого вопроса следует рассчитать теоретические частоты нормального распределения, т. е. те частоты, которые были бы, если бы данное распределение в точности следовало закону нормального распределения. Для расчета теоретических частот применяется следующая формула:

Следовательно, в зависимости от величины t для каждого интервала эмпирического ряда определяются теоретические частоты.

Для проверки близости теоретического и эмпирического распределений используются специальные показатели, называемые критериями согласия. Наиболее распространенным является критерий согласия

К. Пирсона χ² («хи- квадрат»), исчисляемый по формуле

где f - эмпирические частоты (частости) в интервале;

f'' - теоретические частоты (частости) в интервале.

Полученное значение критерия (х2 расч) сравнивается с табличным значением (х²табл)- Последнее определяется по специальной таблице (см. приложение 2) в зависимости от принятой вероятности (Р) и числа степеней свободы k (для нормального распределения k равно числу групп в раду распределения минус 3).

Если X²расч <= Х²табл, то гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

При расчете критерия Пирсона необходимо соблюдать условия: число наблюдений должно быть достаточно велико (п > 50); если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

3.2. Имеются следующие данные о возрастном составе рабочих цеха (лет): 18; 38; 28; 29; 26; 38; 34; 22; 28; 30; 22; 23; 35; 33; 27; 24; 30; 32; 28; 25; 29; 26; 31; 24; 29; 27; 32; 25; 29; 29.

Для анализа распределения рабочих цеха по возрасту требуется: 1) построить интервальный ряд распределения; 2) дать графическое изображение ряда; 3) исчислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения. Сформулировать вывод.

Решение \. Величина интервала группировки определяется по формуле

Интервальный ряд распределения