Понятие марковского случайного процесса
Финальные вероятности и граф состояний СМО
Основные понятия имитационного моделирования
Граф состояний системы и уравнения Колмогорова
Расчет показатели эффективности системы по финальным вероятностям
Блок-схема программы
Статистическая обработка результатов и их сравнение с результатами аналитического моделирования
Навигация
Граф состояний системы и уравнения Колмогорова
Имитационное моделирование системы массового обслуживания
48014
знаков
3
таблицы
9
изображений
2.1 Граф состояний системы и уравнения Колмогорова
Рассмотрим четырехканальную систему массового обслуживания (n = 3) с максимальной длиной очереди равной трем (m = 2). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4.0 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 1.0 и показательным законом распределения временем обслуживания.
Данная система имеет 9 состояний, обозначим их:
S0 – все каналы пусты, очередь пуста;
S1 – 1 канал занят, очередь пуста;
S2 – 2 канала заняты, очередь пуста;
S3 – 3 канала заняты, очередь пуста;
S4 – 3 канала заняты, в очереди 1 заявка;
S5 – 3 канала заняты, в очереди 2 заявки;
Вероятности прихода системы в состояния S0, S1, S2, …, S5 соответственно равны Р0, Р1, Р2, …, Р5.
Граф состояний системы массового обслуживания представляет собой схему гибели и размножения. Все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим.
Рис. 3
Для построенного графа запишем уравнения Колмогорова:
Чтобы решить данную систему зададим начальные условия:
Систему уравнений Колмогорова (систему дифференциальных уравнений) решим численным методом Эйлера с помощью программного пакета Maple 8 (см. Приложение 1).
Метод Эйлера
где
- в нашем случае, это правые части уравнений Колмогорова, n=7.
(1)
Выберем шаг по времени 
. Предположим 
, где Т – это время, за которое система выходит на стационарный режим. Отсюда получаем число шагов
.
Последовательно N раз вычисляя 
по формуле (1) получим зависимости вероятностей состояний системы от времени, приведенной на рис.4. Очевидно, что уже при 
система выходит на стационарный режим. Значения вероятностей СМО при равны:
Зависимости вероятностей состояний системы от времени
|
Рис. 4
2.2 Финальные вероятности системы
При достаточно большом времени протекания процессов в системе (
) могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е. 
Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны 0, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания правых частей 0. Запишем уравнения для финальных вероятностей для нашей СМО.
Решим данную систему линейных уравнений с помощью программного пакета Maple 8 (см. Приложение 1).
Получим финальные вероятности системы:
Сравнение вероятностей, полученных из системы уравнений Колмогорова при , с финальными вероятностями показывает, что ошибки
равны:
Т.е. достаточно малы. При увеличении интервала времени до , погрешности должны были стать еще меньше.
Это подтверждает правильность полученных результатов.
Похожие работы
... очередь длины k, остается в ней с вероятностью Pk и не присоединяется к очереди с вероятностью gk=1 - Pk,'. именно так обычно ведут себя люди в очередях. В системах массового обслуживания, являющихся математическими моделями производственных процессов, возможная длина очереди ограничена постоянной величиной (емкость бункера, например). Очевидно, это частный случай общей постановки. Некоторые ...
... (с 17 до 22 часов)время суток. Следовательно при одном и том же количестве каналов обслуживания, в ночное время вероятность занятости канала будет меньше, чем в дневное. Особенностью этой модели системы массового обслуживания является отсутствие очереди. Если в момент совершения заявки свободных каналов не оказалось, то она покидает систему: то есть если клиент не дозванивается, то и факт ...
... лабораторной работе, входит: 1. Анализ зависимости влияния экзогенных переменных модели однофазной одноканальной СМО на эндогенные переменные. 2. Построение плана машинного эксперимента на основе множественного регрессионного анализа и метода наименьших квадратов. 3.Моделирование системы массового обслуживания В качестве объекта моделирования рассматривается однофазная одноканальная система, ...
... каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных ...
0 комментариев