Метод принятия решения с применением теории нечетких множеств

2.3. Метод принятия решения с применением теории нечетких множеств

Предлагаемая в данной работе нечеткая модель предназначена для принятия решения. В качестве входной ин­формации (входных переменных модели) приняты следующие па­раметры:

- сравнение затраченных расходов на одну сделку с возможным убытком от совершения очередной сделки (сравнение комиссии с величиной возможного убытка);

  - вероятность повышения САЛК текущего незаконченного ИПС;

 - денежные средства на счету после совершения очередной сделки.

 Модель должна оперировать с обычными (четкими) значениями переменных u (i=1,3). По этим данным модель должна принять решение о дальнейшей стратегии трейдера. В качестве такой выходной ин­формации принимается один из трех возможных вариантов решения: продавать акции, или ждать, или покупать акции. Эти решения обозначим переменной v.

Переменные  называются базовыми переменными. Каждая из них определена на своем универсальном множестве, определяемом физическим смыслом переменной. Обозначим эти множества соот­ветственно .

Входные данные были оценены с помощью субъективных качественных понятий типа "много", "мало" и т.п. Эти качественные оценки отношения возможных убытков к комиссии, вероятности повышения, наличия денежных средств формализуются с помощью так называемых лингвистических перемен­ных соответственно.

<>,

где Aj - название переменной;

T(Aj) - множество зна­чений переменной (множество термов);

Uj - универ­сальное множество соответствующей базовой перемен­ной u.

Ниже приведены значения компонент указанного набора:

= "сравнение комиссии с величиной возможного убытка", Т() = "комиссия больше убытков, комиссия сравнима с убытками, комиссия меньше убытков";

 = "вероятность повышения", Т() = "маленькая, сред­няя, большая ";

 = "денежные средства на счету", Т() = "недостаточно средств для совершения сделки, достаточно средств для совершения сделки".

Множествам Т() и Т() соответствуют три терма, множеству Т() два.

Каждый терм Tji(Aj) (i = 1,3) характеризуется функцией принадлежности m_ji(u_j), которая определена на соответствующем универсальном множестве Uj и выражает смысл данного терма.

Функции принадлежности имеют вид трапеций. Практика построения и использования функций принадлежности показала, что кусочно-линейная (тре­угольная или трапецеидальная) форма функции вполне удовлетворяет практическим потребностям /3/.

Определим теперь описание выходной переменной – принятия решения. Это лингвистическая пере­менная В, которая характеризуется также набором, по­добным предыдущему:

<В, Т(В), V>,

где В - название переменной (В = "Принятие решения");

Т(В) - множество термов (Т(В) = "продавать", "ждать", "покупать");

V - универсальное мно­жество базовой переменной v.

Заданы значения функции принадлежности .

Модель управления в рассматриваемом случае есть модель связи между входными переменными  и выходной переменной v. Механизм этой связи включает суждения трейдера о значениях переменных. В результате на основе численного значения каждой из входных переменных оператор присваивает им качест­венные (то есть нечеткие) значения. Свое решение он также принимает на основе нечеткого значения выход­ной переменной. Это означает, что трейдер интуитив­но пользуется нечеткой логикой, а конкретно - прави­лами нечеткого вывода. Поэтому в формальную модель управления включены эти правила.

Смысл нечеткого вывода состоит в следующем. Ес­ли А - причина (предпосылка), а В - результат (заклю­чение), то можно определить нечеткое отношение R соответствия между А и В, смысл которого отражается в знании: из А скорее всего следует В. Это знание вы­ражено формулой (где  - это символ нечет­кой импликации /3/ ). Тогда связь между нечеткой предпосылкой А и нечетким заключением В можно за­писать в виде:

здесь значок  - это правило композиционного вывода (правило свертки) /3/.

В рассматриваемой логической системе предпосыл­ки определяются лингвистическими переменными , а заключение - лингвистической перемен­ной В. В каждом конкретном правиле имеются три предпосылки (по числу входных переменных) и одно заключение. Каждое такое логическое правило опреде­ляет одно из возможных состояний объекта управле­ния, а полный набор правил характеризует все возмож­ные состояния. Поскольку в правилах вывода должны при­сутствовать все комбинации значений, то общее число правил равно 3*2= 18.

В виде термов одно из этих правил может быть на­писано следующим образом: если комиссия сравнима с величиной возможного убытка, вероятность повышения большая, достаточно средств для совершения сделки, то принять решение «покупать».

Для превращения этого текста в формальную про­цедуру нужно установить вид правила композиционно­го вывода в форму нечеткой импликации.

В качестве правила композиционного вывода примем максиминную композицию, а в качестве нечет­кой импликации - правило минимума (пересечение не­четких множеств предпосылки и заключения).

Нечеткое отношение R для L-го правила между j-й входной переменной  и выходной переменной v в со­ответствии с принятым правилом минимума выражено следующей функцией принадлежности:

Здесь индекс i(L) означает индекс i-го терма в L-м правиле вывода (напомним, что термов входных пере­менных всего три). Функция принадлежности (52) отоб­ражает отношение связи между числовыми значениями в паре (). Чем больше ее значение, тем теснее эта связь.

Результаты измерения (наблюдения) входных пере­менных могут быть выражены как обычными числовы­ми (четкими) значениями, так и качественными значе­ниями (нечеткими множествами).

Пусть входные переменные  представлены нечет­кими множествами  с функциями принадлежности . Заметим, что эти функции есть результат работы системы наблюдения (измерения) в отличие от ранее введенных функций m_ji(u_j), которые выражают мнение эксперта-трейдера по поводу конкретных значений . Тогда в соответствии с формулой (51) и принятым пра­вилом композиционного вывода (maxmin) можно запи­сать связь между выходной переменной v и входной переменной  следующим образом:

Здесь  есть функция принадлежности, устанав­ливающая локальную связь между нечеткой входной переменной  и нечеткой выходной переменной v.

Подставив (52) в (53), получим:

(

Поскольку в L-м правиле логического вывода ис­ходные посылки связаны логическим "и" (то есть на­личием данных обо всех трех входных переменных для вывода значения выходной переменной), то соот­ветствующая операция над нечеткими множествами реализуется в виде их пересечения. Последнее же реа­лизуется /3/ с помощью операции минимума над соот­ветствующими функциями принадлежности.

Обозначим нечеткое множество, соответствующее выходной переменной и полученное на основании L-гo правила вывода через ,а его функцию принадлеж­ности через . Тогда можно записать:

Данные о выходной переменной, полученные из всех правил вывода (в нашем случае их число равно 18), должны быть логически объединены. Это соответствует операции максимума над функциями принадлежности /3/. Обозначив через Q результирующее нечеткое мно­жество, соответствующее выходной переменной v, а че­рез  - его функцию принадлежности, окончатель­но запишем:

Пусть теперь входные переменные  (j = 1,3) имеют обычные числовые значения . Тогда значения  определены на обычном множестве, для которого фор­мально можно записать функцию принадлежности, учи­тывая, что обычное множество есть частный случай не­четкого множества. Эта функция равна 1, если , и равна 0 - в противном случае. Тогда в формуле (53)  и . При этом операция max в (53) сводится к выбору единственного значения при .

После этого формула (54) прини­мает вид:

Итак, вычислена функция принадлежности нечет­кой переменной "принятие решения". Теперь нуж­но оценить конкретное значение v* для принятия ре­шения о дальнейших действиях. Эта процедура на­зывается дефазификацией. Здесь предлагается исполь­зовать наиболее распространенный метод дефазификации /3/ - нахождение центра тяжести функции принад­лежности:

Здесь V- область определения (универсальное множест­во) функции.

Интеграл вычислялся методом трапеций /4/ по формуле:

,

где - значения независимой переменной,

- значения функции,

причем .

Таким образом, полученная модель использует три входных переменных , имеющих четкие значе­ния, и выдает выходную переменную v также в четком виде. Внутренняя же структура модели является нечеткой.