Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления

СОДЕРЖАНИЕ

1. Анализ объекта управления

1.1 Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

1.2 Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

1.2.1 Матрица Фробениуса

1.2.2 Метод параллельной декомпозиции

2. Решение задачи быстродействия симплекс-методом

3. Оптимальная l – проблема моментов

3.1 Оптимальная l – проблема моментов в пространстве «вход-выход»

3.2 Оптимальная l – проблема моментов в пространстве состояний

4. Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий – минимизация энергии)

5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (акор)

5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времени

5.1.1 Решение алгебраического уравнения Риккати методом диагонализации

5.1.2 Решение алгебраического уравнения Риккати интегрированием в обратном времени до установившегося состояния

5.2 Стабилизации объекта управления на конечном интервале времени

5.3 Задача акор – стабилизации для компенсации известного возмущающего воздействия.

5.4 Задача акор для отслеживания известного задающего воздействия. i подход

5.5 Задача акор для отслеживания известного задающего воздействия. ii подход (линейный сервомеханизм)

5.6 Задача акор – слежения со скользящими интервалами.

6. Синтез наблюдателя полного порядка

Литература

Приложение

PlotTimeFrHaract.m

ProstranstvoSostoyanii.m

SimplexMetod2.m

Optimal_L_problem_moments.m

Gramian_Uprav.m

AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m

AKOR_stabilizaciya_na_konech_interval.m

Sravnenie_stabilizacii.m

AKOR_stabilizaciya_pri_vozmusheniyah.m

AKOR_slegenie_na_konech_interval_I_podxod.m

AKOR_slegenie_na_konech_interval_II_podxod.m

AKOR_slegenie_so_skolz_intervalami_Modern.m

Sintez_nablyud_polnogo_poryadka.m

Solve_Riccati_Method_Diag.m

Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m

Vozmyshyayushee_Vozdeistvie_Discrete_Revers.m

Zadayushee_Vozdeistvie_Discrete_Revers_Modern.m

1.  Анализ объекта управления

1.1  Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

Передаточная функция данного объекта имеет вид:

,

где:

, ;

, , , , , .

или

.

Нули передаточной функции:

Полюса передаточной функции (полученные стандартными функциями среды Matlab 7.4):

Рис.1. График расположения нулей и полюсов передаточной функции объекта на комплексной плоскости.

Найдем временные характеристики объекта управления.

К временным характеристикам относятся  и .

 – переходная характеристика;

 – импульсная переходная функция;

Для нахождения  и  воспользуемся пакетом Matlab 7.4.

,

Аналитическое выражение для :

В этом случае  имеет вид

Рис.2. График переходной характеристики .

Рис.3. График переходной характеристики  на интервале  (увеличенное).

,

Аналитическое выражение для :

.

В этом случае  имеет вид

Рис.4. График импульсной переходной характеристики .

Рис.5. График импульсной переходной характеристики на интервале  (увеличенное).

Найдем частотные характеристики объекта управления.

К частотным характеристикам относятся:

амплитудно – частотная характеристика (АЧХ),

фазо – частотная характеристика (ФЧХ),

амплитудно – фазовая частотная характеристика (АФЧХ),

Аналитическое выражение для АЧХ:

.

В этом случае АЧХ имеет вид

Рис.6. График АЧХ

Рис.7. График АЧХ на интервале  (увеличенное). Аналитическое выражение для ФЧХ:

В этом случае ФЧХ имеет вид

Рис.8. График ФЧХ .

Рис.9. График ФЧХ на интервале  (увеличенное).

Рис.10. График АФЧХ.

 

Рис.11. График АФЧХ (увеличенное).

 

Аналитическое выражение для ЛАЧХ:

 

.

В этом случае ЛАЧХ имеет вид

Рис.12. График ЛАЧХ.

 

Аналитическое выражение для ЛФЧХ:

 

В этом случае ЛФЧХ имеет вид

Рис.13. График ЛФЧХ.

1.2 Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

Передаточная функция данного объекта имеет вид:

,

где:

, ;

, , , , , .

или

Описание системы в пространстве состояний имеет следующий вид:

Переходя в область изображений описание системы в пространстве состояний будет иметь следующий вид:

  1.2.1 Матрица Фробениуса

Получим выражения, которые определяют вектор состояний и выход заданного объекта в общем виде:

 

.

.

Тогда получим:

 (1)

 (2)

Числитель передаточной функции имеет вид: .

Знаменатель передаточной функции:

.

Тогда согласно равенству (1) и (2) имеем

,

.

Перейдем из области изображений в область оригиналов

,

и затем перейдем к нормальной форме Коши

.

Запишем матрицы состояний

, ,

Численное значение матриц состояний:

, ,

 

1.2.2 Метод параллельной декомпозиции

Запишем передаточную функцию объекта в другом виде, а именно:

или

.

Согласно формуле  получим

Рассмотрим каждое из слагаемых в отдельности согласно принципу параллельной декомпозиции.

a.  ,

.

b.  ,

.

c.  ,

,

,

d.  ,

Получим выход системы:

Запишем матрицы состояний

, ,

Вычисление коэффициентов разложения дробной рациональной функции  на сумму элементарных дробей и проверка правильности получения матриц состояния сделано с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт ProstranstvoSostoyanii.m)

Получены следующие результаты:Матрица СЛАУ:

, ,

,

Численное значение матриц состояний:

, ,

.