Навигация
2. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.
Теорема. Если 
какая-либо первообразная от непрерывной функции 
, то справедлива формула: 
.
В предыдущем пункте было показано, что 
– это первообразная от функции . Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если какая-то другая первообразная от той же функции , то 
.
Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную 
можно вычислить. Действительно, так как 
может принимать любые значения между 
и 
(п. 1), то пусть 
. Тогда: 
. Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно, 
. Значит,
.
Положим теперь, что 
, тогда
.
Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:
.
Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой .
Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.
3. Замена переменной в определенном интеграле
При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.
Теорема. Если в определенном интеграле 
, где непрерывна на 
, сделать замену переменной 
и при этом:
1) 
, 
;
2) 
и 
непрерывны на 
;
3) 
непрерывна на и при изменении 
от 
до 
не выходит за пределы отрезка ,
то 
.
Пусть – какая-то первообразная от , тогда 
. Согласно формуле Ньютона – Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл: . Но, как было показано в п. 5.4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной , тогда 
. В этом случае соответствующий определенный интеграл будет иметь вид:
.
У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:
,
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.
Похожие работы
... можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y!!<0. Параметрическое задание кривой Если кривая задана параметрически: x = j(t), y = y(t), то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя в них вместо y! и y!! их выражения через параметр: . Тогда (2) Эволюта и эвольвента Если в точке M1(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует ...
... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...
... дуги. Спиралями являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности. Названия некоторым спиралям даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например: · параболическая спираль (а - r)2 = bj, · гиперболическая спираль: r = а/j. · Жезл: r2 = a/j · si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид: , [si (t) и ci ...
... , повысить интерес к учению; 3) углубить знания, полученные на уроках математики. Ход занятия I. Организационный момент II. Основная часть 1) Лекция об истории изучения плоских кривых [см. гл. I § 1] 2) Задание Ребята, разгадаем с вами кроссворд: ПАСКАЛЬ ПАПИРУС АПОЛЛОНИЙ РОБЕРВАЛЬ АРХИМЕД ГЕОМЕТРИЯ По горизонтали 1. Учёный, считавший, что дуга спирали ...
0 комментариев