Навигация
Интегрирование по частям в определенном интеграле
11241
знак
0
таблиц
4
изображения
4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть даны функции 
и 
, которые непрерывны со своими производными на 
. Составим их произведение и продифференцируем его:
.
Возьмем от обеих частей полученного равенства определенные интегралы:
.
Но 
, 
, 
. Следовательно, 
, откуда: 
. Так же как и в неопределенном интеграле, данная формула требует правильного выбора множителей 
и 
.
5. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.
Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю.
Итак, пусть кривая линия 
описывается функцией 
на отрезке 
. При этом пусть 
непрерывна на этом отрезке вместе со своей производной 
. Разобьем кривую на 
частичных дуг точками 
. Соединив начало и конец каждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию, длина которой равна сумме длин ее звеньев:
.
Обозначим: 
, 
,…, 
,…, 
. Кроме того, 
, 
,…, 
,…, 
. В таком случае 
можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому
.
Согласно теореме Лагранжа о среднем
, где 
,
следовательно,
.
Отсюда длина ломаной линии равна
.
Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:
.
Данный интеграл существует, поскольку по условию производная непрерывна.
Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть
.
Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):
.
Отсюда следует, что
.
Похожие работы
... можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y!!<0. Параметрическое задание кривой Если кривая задана параметрически: x = j(t), y = y(t), то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя в них вместо y! и y!! их выражения через параметр: . Тогда (2) Эволюта и эвольвента Если в точке M1(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует ...
... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...
... дуги. Спиралями являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности. Названия некоторым спиралям даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например: · параболическая спираль (а - r)2 = bj, · гиперболическая спираль: r = а/j. · Жезл: r2 = a/j · si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид: , [si (t) и ci ...
... , повысить интерес к учению; 3) углубить знания, полученные на уроках математики. Ход занятия I. Организационный момент II. Основная часть 1) Лекция об истории изучения плоских кривых [см. гл. I § 1] 2) Задание Ребята, разгадаем с вами кроссворд: ПАСКАЛЬ ПАПИРУС АПОЛЛОНИЙ РОБЕРВАЛЬ АРХИМЕД ГЕОМЕТРИЯ По горизонтали 1. Учёный, считавший, что дуга спирали ...
0 комментариев