Линейные уравнения и их свойства

Тема 1. Система линейных уравнений

В общем случае система  линейных уравнений с  неизвестными имеет вид

 (1)

Через  обозначены неизвестные, подлежащие определению, величины , называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупность  чисел , которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если решение одной из них является решением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которую называют основной матрицей системы

.

Если , то матрица  является квадратной и ее определитель  называется определителем системы. Если определитель квадратной системы уравнений  то система имеет единственное решение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:

Здесь - определитель системы, определитель матрицы, получаемой из матрицы  заменой го столбца столбцом ее свободных членов.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Решение. Найдем определитель системы

   =

Далее вычислим определитель , заменив первый столбец матрицы системы на столбец свободных членов

Аналогично находим определители :

Отсюда по формулам Крамера находим решение системы

  

Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса - методом последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных методом Гаусса удобно выполнять, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов, к которой справа добавлен столбец свободных членов

Полученную матрицу  называют расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:

Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

Перестановка строк матрицы.

Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на общее произвольное число.

Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк основную матрицу системы  привести к ступенчатому (или треугольному) виду. Если вернуться к уравнениям, то это означает, что неизвестная  содержится только в первом уравнении, неизвестная - только в первом и втором уравнении и т. д. Таким образом, неизвестные системы частично исключаются из исходных уравнений системы, а полученная новая система уравнений является эквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом Гаусса на примерах.

Пример 2. Решить систему уравнений

 (2)

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

 (3)

Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобы получить

 (в этом случае упрощаются последующие вычисления).

~ (4)

Символ “~” обозначает эквивалентность матриц. Умножим первую строку полученной матрицы (4) на число (-3) и прибавим соответственно к элементам второй строки, далее первую строку матрицы (4) умножим на число (-5) и прибавим к элементам третьей строки этой матрицы. В результате получим матрицу, которой соответствует система уравнений, содержащая неизвестную  только в первом уравнении

 ~ . (5)

Так как в матрице (5) , то, умножая вторую строку этой матрицы на число (-5) и прибавляя ее к третьей строке, получим основную матрицу треугольного вида. Для упрощения разделим элементы последней строки на число (-11):

~ ~  (6)

Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной системе (2)

Отсюда из третьего уравнения получаем . Подставляя найденное значение  во второе уравнение, определяем неизвестную :

 

Наконец, после подстановки найденных значений  в первое уравнение, находим неизвестную :  Таким образом, решение системы единственное:

Пример 3. Решить систему уравнений

 (7)

Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7)

~ ~

~~ ~

~ ~ .

Расширенная матрица, полученная на последнем шаге путем вычитания из элементов четвертой строки соответствующих элементов третьей строки, содержит нулевую строку и имеет ступенчатый вид. Отсюда следует, что исходной системе уравнений эквивалентна система из трех уравнений с 4 неизвестными

Неизвестную  перенесем в правые части уравнений

Отсюда определяем

 

Задавая переменной  произвольное значение , найдем бесконечное множество решений системы

Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду, когда в нулевой строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, то система не имеет решения. Например, последняя строка имеет вид . Тогда соответствующее уравнение системы привелось к неверному равенству

Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производстве которых используется три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование. Нормы расхода каждого из них (в условных единицах) на производство единицы каждого товара и объем ресурсов на 1 день заданы таблицей 1.

Таблица 1

Вид ресурсов	Норма расхода ресурсов на производство ед. товара			Объем ресурсов на 1 день
	1 вид	2 вид	3 вид
Рабочая сила	1	1	2	800
Сырье	3	2	4	1700
Оборудование	2	1	3	1100

Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.

Решение. Пусть  - ежедневный выпуск соответственно товаров 1,2 и 3-го вида. Тогда в соответствии с нормами расхода ресурсов каждого типа имеем систему линейных уравнений, содержащих неизвестные

Решим ее методом Гаусса.

~ ~

Отсюда находим , т.е. предприятие ежедневно выпускает 100 ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед. товаров 3-го вида.

Задача для контрольной работы

Кондитерская фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов. При этом используется сырье трех типов. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и общий объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей 2. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия, построив систему линейных уравнений и решая ее методом Гаусса и по формулам Крамера.

Таблица 2

Номер варианта	Вид сырья	Норма расхода сырья на 1 изделие			Объем расхода сырья
		Изделие 1	Изделие 2	Изделие 3
1		3	2	4	2000
		1	3	2	1100
		2	5	1	1200
2		4	1	3	1800
		1	2	5	2500
		2	1	2	1200
3		2	3	4	1400
		3	1	3	1000
		1	2	3	1000
4		1	5	2	1700
		2	3	1	1100
		3	1	4	1700
5		2	2	4	2200
		1	3	1	1300
		3	1	2	1600
6		1	3	3	1500
		3	1	1	900
		2	2	4	1700
7		4	2	1	1200
		3	3	2	1600
		1	2	1	900
8		1	2	2	1000
		3	1	2	1200
		4	3	4	2200
9		2	2	3	1000
		1	3	1	700
		3	1	2	700
10		1	3	4	2700
		2	1	3	1900
		3	2	1	1600

Тема 2. Векторная алгебра

Упорядоченную совокупность  вещественных чисел в виде  называют мерным вектором. Число  называют ой компонентой вектора . Для векторов вводят следующие линейные операции.

Суммой двух векторов одинаковой размерности  называют такой вектор , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Пример 1.

,

Произведением вектора  на число  называют вектор , компоненты  которого равны произведению числа  на соответствующие компоненты вектора , т.е.

Пример 2.

 

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Существует нулевой вектор  такой, что  для любого вектора

Для любого вектора  существует противоположный вектор такой, что

 

Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам, называется векторным (линейным) пространством и обозначается символом .

Вектор  называется линейной комбинацией векторов  векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа

.

Векторы  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что их линейная комбинация является нулевым вектором

 (1)

В противном случае, т.е. когда равенство (1) справедливо лишь при  векторы  называются линейно независимыми. Можно показать, что если векторы  линейно зависимы, то по крайней мере один их них является линейной комбинацией остальных.

Векторное пространство  называется мерным, а число размерностью пространства, если в нем существует  линейно независимых векторов, а любые из  векторов уже являются зависимыми. Таким образом, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Совокупность  линейно независимых векторов мерного пространства  называется базисом этого пространства. Пусть векторы  образуют произвольный базис мерного пространства . Тогда любой вектор  пространства  можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса

. (2)

Равенство (2) называют разложением вектора  по базису , а числа координатами вектора  относительно этого базиса.

Пример 3. Показать, что векторы , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Так как каждый вектор задан тремя координатами, то в рассматриваемом векторном пространстве существует базис  и размерность пространства, равная трем, совпадает с числом заданных векторов . Поэтому векторы  образуют в нем базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство

которое можно записать для соответствующих координат этих векторов

 (3)

Решим полученную систему линейных уравнений (3) методом Гаусса.

~ ~ ~

~~ ~ ~

~~ .

Отсюда получаем единственное нулевое решение , т.е. векторы  являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис пространства. Найдем теперь разложение вектора  по базису  из условия выполнения векторного равенства

,

которое для соответствующих координат запишется

Полученную квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных  решим по формулам Крамера. Вычислим определители3-го порядка:

 

 

Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора  в базисе :

В итоге имеем

Задача для контрольной работы

Показать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе. Численные данные в зависимости от варианта приводятся в таблице 3.

Таблица 3

№ варианта	Координаты векторов
1	2	3	2	4	6	3	-3	-2	3	3	7	5
2	-1	-2	1	-3	2	-1	2	-5	-3	-6	14	4
3	2	3	-2	-1	-1	1	4	0	1	15	5	0
4	2	6	-10	5	3	2	7	4	3	4	12	-20
5	2	3	1	3	7	2	5	4	2	10	3	3
6	5	4	3	-6	-3	-5	4	2	2	3	2	1
7	2	-1	3	-1	3	2	1	-2	-1	4	-3	3
8	1	2	-1	2	-1	3	3	4	1	10	8	4
9	4	1	-6	-3	2	1	2	3	0	12	-5	-14
10	2	3	1	1	1	2	3	4	1	1	1	4

Тема 3. Случайные события

Задача 1. На складе имеется 12 единиц товара, полученных от поставщика №1, 20 единиц - от поставщика №2 и 18 единиц - от поставщика №3. Вся продукция находится в одинаковых упаковках. Вероятность того, что единица товара, полученная от поставщика №1 отличного качества, равна 0,9; от поставщика №2 - 0,6; от поставщика №3 - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу единица товара окажется отличного качества.

Решение. Обозначим через  событие, состоящее в том, что взятая единица товара окажется отличного качества. Возможны следующие предположения: - взятая единица товара получена от поставщика №1, - от поставщика №2, - от поставщика №3.

Так как всего на складе 50 единиц товара (12+20+18), то вероятность того, что взятая наудачу единица товара получена от поставщика №1 12/50, от поставщика №2 - 20/50, от поставщика №3 -18/50.

Из постановки задачи известна вероятность того, что единица товара окажется отличного качества при условии, что она получена от поставщика №1: , от поставщика №2 -  от поставщика №3 -

Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности

.

Задача 2. Продукция, выпускаемая на предприятии партиями, попадает для проверки ее на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что партия продукции попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная партия будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Годная партия при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту партию проверял первый контролер.

Решение. Обозначим через  событие, состоящее в том, что годная партия продукции признана стандартной. Можно сделать два предположения:

партию проверил первый контролер (гипотеза В1);

партию проверил второй контролер (гипотеза В2).

Искомую вероятность того, что партию проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:

По условию задачи имеем:

- (вероятность того, что партия попадет к первому контролеру);

- (вероятность того, что партия попадет ко второму контролеру);

- (вероятность того, что годная партия будет признана первым контролером стандартной);

- (вероятность того, что годная партия будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность

Задачи для контрольной работы

Таблица 4

Номер варианта	Содержание задачи
1	Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из двух магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 – для второго, Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар?
2	Два контролера производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55, ко второму контролеру – 0,45.Первый контролер выявляет имеющийся дефект с вероятностью 0,8, а второй –с вероятностью 0,9. Вычислить вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации.
3	Товаровед плодоовощной базы определяет сорт поступивших от постоянного поставщика партии яблок. Известно, что в среднем 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки 1 сорта. Вероятность того, что товаровед примет первосортную партию первым сортом равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, считая непервосортную партию – первосортной. Это происходит с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что товаровед неправильно установит сорт яблок?
4	Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно, что 25% первой партии и 40% второй партии составляют товар 1-го сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет первого сорта?
5	Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 – для второй кассы. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его в во второй кассе.
6	В магазин поступила обувь от двух поставщиков. Количество обуви, поступившей от первого поставщика, в два раза больше, чем от второго. Известно, что в среднем 20% обуви от первого поставщика и 35% обуви от второго поставщика имеют различные дефекты отделки. Из общей массы наугад отбирают одну упаковку с обувью. Оказалось, что она не имеет дефекта отделки. Какова вероятность того, что ее изготовил первый поставщик?
7	Укупорка банок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго – 0,5%. Какова вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки?
8	В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия – 200 единиц, из них 50 – первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица. Она оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии?
9	Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым – 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбирается одно. Оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер?
10	В двух одинаковых коробках находятся карандаши. Известно, что 1/3 карандашей в первой коробке и 1/4 карандашей во второй – характеризуется твердостью ТМ. Наугад выбирается одна коробка и из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказался твердости ТМ. Какова вероятность того. Что он извлечен из первой коробки?

Тема 4. Случайные величины

Задача. Функция распределения спроса на некоторый продуктовый товар для различных микрорайонов города задается выражением:

Требуется найти: