Способы решения систем линейных уравнений

– очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц и определителей. В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы, а так же некоторые другие теоретические вопросы. Во второй главе непосредственно рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения: правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера – Капелли. И в той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую часть моего реферата.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы. Давайте рассмотрим некоторые примеры важнейших моментов этой работы.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂ ;

……………………………………

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n = b_n ;

a). Если , то система (1) имеет единственное решение,

которое может быть найдено по формулам Крамера: x₁=, где

определитель n-го порядка _i ( i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b₁ , b₂ ,..., b_n.

б). Если , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет. Например:

решить систему уравнений

.

Вычислим определитель системы:

Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ∆x , ∆y:

.

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: , _x1,_x2, …,x_n. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = b₁;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = b₂;

_. ……………………………………

а_m1х₁ + а_m2х₂ + …+ а_mnх_n = b_m

Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном исключении переменных. Например:

Решить методом Гаусса систему уравнений

x₁ – 2x₂ + x₃ + x₄ = –1;

3x₁ + 2x₂ – 3x₃ – 4x₄ = 2;

2x₁ – x₂ + 2x₃ – 3x₄ = 9;

x₁ + 3x₂ – 3x₃ – x₄ = –1.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:

1 –2 1 1 –1

B = 3 2 –3 –4 2 .

2 –1 2 –3 9

1 3 –3 –1 –1

Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

0 8 –6 –7 5

0 3 0 –5 11

0 5 –4 –2 0

Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

0 –1 –6 8 –28

0 0 –1 0 –3

0 0 0 19 –19

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

x₁ – 2x₂ + x₃ + x₄ = –1;

X₂ – 6x₃ + 8x₄ = –28;

– x₃ = –3;

19x₄ = –19.

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x₄ = –1, из третьего х₃ = 3. Подставив значения х₃ и x₄ во второе уравнение, найдем x₂ = 2. Подставив значения x₂, x₃, x₄ в первое уравнение, найдем x₁ = 1.

Теорема совместности Кронекера – Капелли звучит следующим образом: Для того, чтобы система неоднородных линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу её основной матрицы. Рассмотрим следующий пример:

Рассмотрим систему

5x₁ – x₂ + 2x₃ + x₄ = 7;

2x₁ + x₂ – 4x₃ – 2x₄ = 1;

x₁ – 3x₂ + 6x₃ – 5x₄ = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например

5 –1 = 7,

2 1

а все миноры третьего порядка равны нулю.

Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например

5 –1 7

2 1 1 = –35.

1 –3 0

Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

В процессе работы я узнала много нового: какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, а так же многие другие теоретические вопросы и провела практические исследования, приводя примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Способы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.

МОУ Гимназия № 11

Способы решения систем линейных уравнений

Анжеро-Судженск

2004г.

МОУ Гимназия № 11

Способы решения систем линейных уравнений

Реферат по математике

Выполнила:

Ученица 9² класса

Бойко Юлия

Научный

Руководитель:

Клокова Татьяна

Васильевна.

Анжеро-Судженск

2004г.

Содержание:

Введение. 2

Глава I. Матрицы и действия над ними. 5

1.1. Основные понятия. –

1.2. Действия над матрицами. 8

1.3. Обратная матрица. 11

1.4. Ранг матрицы. 16

Глава II. Системы линейных уравнений. 23

2.1. Основные понятия. –

2.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило

Крамера. 24

2.3. Однородная система n линейных уравнений с n

неизвестными. 28

2.4. Метод Гаусса решения общей системы линейных

уравнений. 30

2.5. Критерий совместности общей системы линейных

уравнений. 37

Заключение. 45

Список литературы. 46

-1-

Введение.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

a₁₁x₁ + … + a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁x₁ + … + a_2n x_n = b₂ ;

………………………………

a_m1x₁+ … + a_mnx_n = b_m .

Здесь x₁, … , x_n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория

-2-

векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название правила Крамера. Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса. Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение (определённая система), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система). Вопрос о совместности системы линейных уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений, решается сравнением ранга матриц [а_ij] и [a_ij, b_j ]. Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше ранга матрицы А, то система несовместна (теорема Кронекера-Капелли).

Несколько уравнений вида a₁x₁ + …+ a_nx_n= b образуют систему линейных уравнений

a_j1x₁ + …+ a_jnx_n = b_j , j = 1, …, m,

которую можно записать как

x₁a₁ + …+ x_na_n = b,

где а₁, …, а_n, b m-мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы В системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения

-3-

являются бесконечномерными аналогами обычных систем линейных уравнений.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы.

-4-

Глава I. Матрицы и действия над ними.

Основные понятия.

Матрица размерами m Ч n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А)

2 5 2

А= 3 10 7 - матрица.

6 -3 -4

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

а₁₁ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

M = a₃₁ a₃₂ … a_3n

…………………

a_m1 a_m2 … a_mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) – её порядком.

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [a_ij] и В = [b_ij] одинакового типа называются равными, если a_ij = b_ij при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а_ij = 0, – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ, а элементы квадратной

-5-

матрицы порядка n,сумма индексов каждого из которых равна n+1, –

побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

1 0 … 0

Е = 0 1 … 0

………………

0 0 … 1

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

a₁₁ а₁₂ … а_1n b₁₁ 0 … 0

А = 0 а₂₂ … а_2n ; B = b₂₁ b₂₂ … 0

……………… ………………

0 0 … a_nn b_n1 b_n2 … b_nn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n ;

…………………

a_n1 a_n2 … a_nn

то

a₁₁ a₂₁ … a_n1

A^T = a₁₂ a₂₂ … a_n2 .

………………

a_1n a_2n … a_nn

Определитель n-го порядка матрицы

-6-

а₁₁ а₁₂ … а_1n

А = а₂₁ а₂₂ … а_2n

…………….…

а_n1 а _n2 … а_nn

есть число

а₁₁ а₁₂ … а_1n

∆ = а₂₁ а₂₂ … а_2n = ∑ (-1)^{I(k , k , …, k )} a_1k a_2k … a_nk

……………… (k₁, k₂, …, k_n)

а_n1 а_n2 … а_nn

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а_ij, т.е. на всевозможные перестановки (k₁, k₂, …, k_n). Числа а_ij называют элементами определителя.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной.

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.