Методология изучения темы "Признаки равенства треугольников"

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Основы преподавания математики»

на тему : «Методология изучения темы «Признаки равенства треугольников»»

Кировоград

2003

СОДЕРЖАНИЕ

 

I. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников».….3

II. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1. Тема урока «Треугольник. Виды треугольников»…………………….…..8

УРОК 2. Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников» ……………………………………………………………………….11

УРОК 3. Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников» ..15

УРОК 4. Тема урока: «Признаки равенства треугольников» ..................................18 УРОК 5. Тема урока: “Решение прикладных задач» ................................................22 УРОК 6. Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»……26 Приложения к урокам………………………………………………………………...30

Перечень использованной литературы……………………………………………...33

I. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников»

Признаки равенства треугольников

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Справочная таблица.

Теорема 1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁ Ð А = Ð А₁, АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁. Докажем, что треугольники равны, т.е. докажем, что у них и ÐВ=ÐВ₁, ÐС=ÐС₁, ВС=В₁С₁.

По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₂С₂, равный треугольнику АВС, у которого вершина В₂ лежит на луче А₁В₁, а вершина С₂ лежит одной полуплоскости с вершиной С₁ относи-тельно прямой А₁В₁. Так как А₁В₁=А₁В₂, то по аксиоме откладывания отрезков точка В₂ совпадает с точкой В₁. Так как ÐВ₁А₁С₁=ÐВ₂А₁С₂, то по аксиоме откладывания углов луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁. И так как А₁С₁=А₁С₂, то вершина С₂ совпадает вершиной С₁. Итак, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Теорема 2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два треугольника, у которых Ð А = Ð А₁, ÐВ=ÐВ₁, АВ=А₁В₁. Докажем, то треугольники равны, т.е. докажем, что АС=А₁С₁, ÐС=ÐС₁, ВС=В₁С₁. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₂С₂ равный треугольнику АВС, у которого вершина В₂ лежит на луче А₁В₁, а вершина С₂ лежит в одной полуплоскости вершиной С₁ относительно прямой А₁В₁. Так как А₁В₂=А₁В₁, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁. Так как ÐВ₁А₁С₂=ÐВ₁А₁С₁ и ÐА₁В₁С₂=ÐА₁В₁С₁, то по аксиоме откладывания углов луч А₁С₁ совпадает с лучом А₁С₂, а луч В₁С₁ совпадает с лучом В₁С₂. Отсюда следует, что вершина С₂ совпадает вершиной С₁. Итак, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство.

Пусть АВС – равнобедренный треугольник с основанием АВ. Докажем, что у него ÐА=ÐВ. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА=В, СВ=СА, ÐС=ÐС. Из равенства треугольников следует, что ÐА=ÐВ. Теорема доказана.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Теорема 4. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство.

Пусть АВС – треугольник, в котором ÐА=ÐВ. Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ=ВА, ÐВ=ÐА, ÐА=ÐВ. Из равентва треугольников следует, что АС=ВС. Теорема доказана.

Теорема 4 называется обратной теореме 3. Заключение теоремы 3 является условием теоремы 4. А условие теоремы 3 является заключением теоремы 4.

Определение. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Определение. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Определение. Мединой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

Теорема 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство.

Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АВ. Пусть СК – медиана, проведенная к основанию. Треугольники САД и СВД равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САК и СВК равны по теореме 3. Стороны АК и ВК равны, потому что К – середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: ÐАСК=ÐВСК, ÐАКС=ÐВКС. Так как углы АКС и ВКС равны, то СК – биссектриса. Так как углы АКС и ВКС смежные и равны, то они прямые, поэтому СК – высота треугольника. Теорема доказана.

Теорема 6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ два треугольника, у которых АВ=А₁В₁, АС=А₁С_1, ВС=В₁С₁. Докажем, что эти треугольники равны. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₁С₂, равный треугольнику АВС, у которого вершина С₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной С₁ относительно прямой А₁В₁. Допустим, что вершина С₁ не лежит ни на луче А₁С₁, ни на луче В₁С₁. Пусть К – середина отрезка С₁С₂. Треугольники А₁С₁С₂ и В₁С₁С₂ – равнобедренные с общим основанием С₁С₂. По теореме 5 их медианы А₁К и В₁К являются высотами. Значит, прямые А₁К и В₁К перпендикулярны прямой С₁С₂. Но это невозможно, так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С₂ лежит либо на луче А₁С₁, либо на луче В₁С₁. В первом случае точка С₂ совпадает с С₁, так как А₁С₁=АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁. Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Теорема доказана.

II. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1

Тема урока: «Треугольник. Виды треугольников»

Цели урока:

развить представление о многоугольнике; вывести понятие треугольника и его элементов, познакомиться с классификацией треугольников по сторонам и углам;

Из опыта практической деятельности получить вывод о сумме углов треугольника.

Оборудование: слайды для кодоскопа; модели треугольников разных видов; модели тетраэдра; печатные карточки.

Ход урока

I. Урок начинается с беседы учителя.

·  Среди множества различных фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников. Слово «многоугольник» указывает на то, что у всех фигур из этого семейства «много углов». Для определения многоугольника важно указать, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга.

·  Какая из фигур, изображенных на рисунке 1, является многоугольником?

Рис. 1

Чем отличаются многоугольники 2 и 3 на рисунке 1? Каким наименьшим числом можно заменить «много» в слове «многоугольник»? [Числом 3.]

Значит, самым простым многоугольником является треугольник. Знакомый всем нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

II. На экране изображен треугольник ABC (рис. 2). (Вводятся названия основных его элементов и делается запись в тетрадях.)

D ABC: A, B, C – вершины;
AB, BC, CA – стороны;
ÐA, ÐB, ÐC – углы.

Рис. 2

Задание. Измерьте углы D ABC и вычислите их сумму. (Большинство учащихся получают результат, равный 180°.)

Вывод: сумма градусных мер углов треугольника равна 180°.

Задачи

1. В треугольнике один из углов равен 65°, а другой 80°. Чему равен третий угол этого треугольника?

2. В треугольнике ABC градусная мера угла B равна 40°, а градусная мера угла A в три раза больше. Найдите градусную меру угла C.

III. Физкультурная пауза

IV. Продолжим знакомство с треугольниками. (Учитель обращает внимание на модели треугольников, размещенные на магнитной доске.)

·  Все большое семейство треугольников можно разделить на группы в зависимости от сторон и углов. (По ходу введения видов треугольников заполняется таблица (рис. 3) в тетради.)

Вид треугольника	Равнобедренный	Равносторонний	Разносторонний
Прямоугольный
Тупоугольный
Остроугольный

Рис. 3

На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники (рис. 4). Определите на глаз вид каждого треугольника.

Рис. 4

Задача. Из шести одинаковых палочек сложите четыре равных треугольника.

[Тетраэдр.]

Демонстрируются: каркасная модель тетраэдра, модели пирамид, октаэдра.

 

V. Задание на дом