Постройте треугольник, в котором AB = 4 см, ÐBAC = 35°, ÐCBA = 80°

4. Постройте треугольник, в котором AB = 4 см, ÐBAC = 35°, ÐCBA = 80°.

Вариант 2

1. Постройте равнобедренный остроугольный треугольник.
2. В треугольнике MNL ÐM = 64°, ÐN = 57°. Найдите ÐL.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а боковые стороны в три раза больше. Найдите периметр треугольника.
4. Постройте треугольник, в котором AB = 4 см, AC = 3 см, ÐBAC = 60°.

VII. Задание на дом .

УРОК 4

Тема урока: «Признаки равенства треугольников»

Цели урока:

систематизировать теоретические знания по теме, закрепить умения и навыки использования теоретических знаний к решению задач; развить творческий подход и интерес к обучению.

 

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Три ученика около доски записывают опорный конспект:

1) три признака равенства треугольников; 2) равнобедренный треугольник и его свойства; 3) признаки равенства прямоугольных треугольников.

В это время учитель проводит фронтальный опрос класса.

1. Сформулируйте 1 признак равенства треугольников.

2. Сформулируйте 2 признак равенства треугольников.

3. Какой треугольник называется равнобедренным?

4. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

5. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.

6. Чем отличается признак геометрической фигуры от ее свойства?

7. Сформулируйте 3 признак равенства треугольников.

8. Какой треугольник называется равносторонним?

9. Что считается признаком, что – свойством равностороннего D-ка?

10. К каждой ли теореме существует обратная?

11. Приведите пример теоремы, к которой не существует обратной.

12. Приведите пример теоремы, к которой существует обратная.

13. Как строится обратная теорема?

14. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

После фронтального опроса учитель проводит беседу по опорным конспектам на доске. Если необходимо, то ученики класса дополняют и исправляют записи на доске.

ІІ. Решение задач.

Два ученика около доски решают задачи по готовым рисункам, которые выполнены учителем до урока. Если необходимо, то ученики класса дополняют и исправляют записи на доске.

Задачи по готовым рисункам

1. Дано: DАВС, BD=CD, BM=CM, ÐDBM=40⁰,ÐADB=80⁰. Найти: ÐBDM, ÐMDC, ÐDMC, ÐMCD.

Ответ: ÐBDM=ÐMDC=50⁰, ÐDMC=90⁰, ÐMCD=40⁰.

2. DAOM=DFOE, периметр DOEF=40 см , AF=20 см. Найти: периметр DAEF.

Ответ: 60 см.

III. Физкультурная пауза

(Ученики повторяют за учителем все движения.)

IV. Устная работа.

Учитель с учениками устно решает задачи по готовым рисункам, изображенным на плакатах. Ученики должны найти на рисунках равные треугольники и объяснить равенство, назвав соответственный признак равенства треугольников.

Задачи для устного решения.

ІV. Домашнее задание. УРОК 5 Тема урока: “Решение прикладных задач»

Цель урока:

рассмотреть жизненные и прикладные задачи, на которых можно продемонстрировать важную роль признаков равенства треугольников в жизни, научить учеников творчески применять признаки равенства треугольников во время решения задач.

 

Ход урока

І. Гимнастика ума. При написании математического диктанта повторяются три признака равенства треугольников, понятие равнобедренного треугольника, его свойства и признаки. Цель диктанта – систематизировать и повторить важные факты данной темы, способствовать развитию внимания, логического мышления и математического зрения учеников, сформировать навыки умственной деятельности. Учитель зачитывает задания, а ученики записывают ответы к ним или ставят знак «+», если учитель называет правильный ответ. После выполнения задания ученики обмениваются тетрадями для перекрес-тной проверки. Такая система контроля развивает у учеников честность и объективность в оценивании результатов своей деятельности и деятельности одноклассников. Задание диктанта предлагается по вариантам. Математический диктант. Вариант І. 1. В DKNO и DPQT равные стороны KN и PQ и углы K и P. Какое еще равенство должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 1 признаку равенства треугольников? 2. У равных DBCD и DMPQ углы B и D равны соответственно углам M и Q. Что следует из условия по 2-му признаку равенства треугольников? 3. В DАВС проведены медианы AD, BE, CF. Длины отрезков AF, AE, BD соответственно равны 3 см, 5 см, 6 см. Найти периметр DАВС. 4. В DАВС и DPOT стороны AB=PO, BC=OT. Какое еще условие должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 3 признаку равенства треугольников? 5. Продолжить предложение: “В равнобедренном треугольнике медиана является ...” Вариант ІІ. 1. В DABC и DDEF равные стороны AB и DE и углы A и D. Какое еще равенство должно выполняться, чтобы треугольники были равными по 1 признаку равенства треугольников? 2. У равных DMRQ и DKLT углы M и Q равны соответственно углам K и T. Что следует из условия согласно 2 признаку равенства треугольников? 3. В DАВС проведены биссектрисы AD, BE, CF. Градусные меры углов соответственно равны ÐBAD=30, ÐCBE=40, ÐACE=20. найдите сумму углов DАВС. 4. В DMNQ и DRST стороны MN=RT, NQ=NS. Какое еще условие должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 3 признаку равенства треугольников? 5. Продолжить предложение: “Если в треугольнике все углы равны, то он ...” Ответы учителя. І вариант. 1. KO=PT. 2. BD¹MQ. 3. 28 см. 4. AC=PT. 5. биссектрисой и высотой IІ вариант. 1. AC=DF. 2. MQ¹KT. 3. 180⁰. 4. MQ=RS. 5. равносторонний ІІ. Решение прикладных задач.

Задача 1. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти с мерной цепью , выбирают такую точку С, из которой были бы видны как точка А, так и В и из которой можно было бы к ним пройти. Провешивают*) АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD = AC и EC = CB. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию АВ. Почему?

*) То есть отмечают направление шестами - вехами.

Задача 2. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок BE. Выбирают на местности точку D, из которой можно было бы видеть точку А и пройти к точкам В и E. Провешивают прямые BDG и EDF и отмеряют FD = DE и DG = BD. Затем идут по прямой FG, смотря на точку А, пока не найдут такую точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда НG равно искомому расстоянию. Доказать.

Задача 3. Чтобы измерить расстояние между пунктами А и В, расположенными на разных берегах реки, при помощи эккера провешивают перпендикулярно к АВ отрезок BD произвольной длины. Делят BD в точке Е пополам. Проводят перпендикуляр DC к BD в точке D; идут по DC, смотря на А, до точки С, которая лежит на прямой АЕ. Длина DC равна АВ. Доказать.

ІII. Домашнее задание.

Задача 1. На каждой стороне равностороннего треугольника АВС отложены отрезки АВ₁ = ВС₁ = СА₁. Точки А₁, В₁ и С₁ соединены прямыми. Доказать, что треугольник А₁В₁С₁ тоже равносторонний.

Задача 2. Каждая из сторон равностороннего треугольника АВС продолжена: АВ - за вершину В; ВС - за вершину С; СА - за вершину А; на продолжениях отложены отрезки одинаковой длины, и концы их соединены между собой. Определить вид полученного треугольника.

Задача 3. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников АВС и ABD равны 37 м и 24 м. Определить длину АС.

Задача 4. В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота BD. Периметр треугольника АВС равен 50 м, а периметр треугольника ABD равен 40 м. Определить высоту BD.

УРОК 6 Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»

Все учителя в начале изучения темы определяют для себя и для учащихся требования, предъявляемые к знаниям учащихся в конце ее изучения. В течение всего времени, отведенного на конкретную тему, работа учителя и учеников нацелена на достижение всеми учащимися обязательных результатов обучения. При этом используются различные виды уроков и различные формы работы. Результаты усвоения темы выявляет урок-зачет или контрольная работа. Накануне последнего урока по теме целесообразно проводить по ней обобщающие уроки. Удачно спланированный, детально продуманный, такой урок позволяет в полной мере раскрыться как учителю, так и ученикам. Эти уроки позволяют учителю за короткие промежутки времени (3–5 мин или 10–15 мин), меняя формы и приемы работы, проверить качество знаний учеников по конкретной теме, проверить умение применять эти знания в различных заданиях. Именно на уроках обобщения знаний наиболее ярко прослеживается структура познавательной деятельности учащихся. Она может быть охарактеризована следующим образом: учебно-практическое задание ® процесс выполнения задания ® обобщение результата в практической деятельности, абстрагирование ® формулировка математических понятий ® систематизация математических знаний ® интерпретация полученных знаний.

По дидактическим функциям занятия могут быть обучающими, познавательными, проверочными. На таких уроках продолжается процесс познания, хотя этот урок заключительный, т. е. урок- «итоговая черта», но познавательная деятельность здесь представляет собой самодвижение. В результате работы на уроке знания не поступают извне в виде информации, а являются внутренним продуктом практической деятельности самих учащихся.

Опыт показывает, что на таких уроках активность учащихся намного выше, чем на других уроках, а в результате и качество запоминания и воспроизведения изучаемого материала намного выше. Принцип состоит в том, что на таких уроках ученики не только воспринимают материал от учителя, но и сами активно участвуют в его создании и усвоении путем сочетания мыслительных операций с практическими действиями.

В это время у ребят развивается творческая самостоятельность, инициатива, лучше реализуется принцип связи теории и практики.

 

I. Организационный момент (2–3 мин.)

Завершается сообщением темы и цели урока (которые, в принципе, ученикам уже известны). Это делается еще и для того, чтобы перенастроить их мыслительную деятельность после предыдущего урока на настоящий урок.

II. Повторение признаков равенства треугольников (3–5 мин.)

Работают сразу 6 учеников (лучше слабых). Трое – на доске на чертеже «показывают признаки», а трое учеников их формулируют.

III. Тест на знание признаков равенства треугольников (8–10 мин.)

Каждый учащийся получает лист с изображением 10 пар треугольников, на которых отмечены соответственно равные элементы (приложение 1). Предлагается отыскать пары треугольников, о равенстве которых можно утверждать, опираясь на один из признаков.

На первый взгляд работа кажется простой, но это только в случае глубокого знания признаков. Свои результаты учащиеся вносят в лист фиксирования результатов (приложение 2). Такая форма работы должна быть уже опробована, чтобы время на организацию было минимально. В случае положительного ответа ученик вносит в 1-й столбец номер признака, по которому треугольники равны, в случае отрицательного ответа строку оставляют пустой. Во время работы над тестом ученики получают коды для проверки (приложение 3). После 5–6 мин работы – самопроверка. Для этого лист-код прикладывают ко второму столбцу. При этом совпадение ответов ученика и кода отмечается знаком «+» в третьем столбце. Подсчитывается количество заработанных баллов. Работа сразу же оценивается.

Критерии оценок:

10 баллов – оценка «5»,
9 баллов – «4»,
8 баллов – «3»,
меньше – «2».

Как правило, двоек на этом этапе обучения уже не бывает. Проверка и подведение итогов занимает 1–2 мин.

IV. Работа с опорной таблицей (5 мин.)

Смена письменной работы на устную не позволяет снизиться работоспособности. У каждого ученика в течение изучения всей темы имеется опорная таблица (приложение 4). Рассматриваем задачи 4, 7, 6. На любом этапе работы ученик может по сигналу учителя передать «эстафету» решения любому ученику по своему желанию. Этим достигается предельное внимание. Работа с таблицами полезна для развития геометрической наблюдательности и для выработки умения применять признаки равенства треугольников. Кроме того, учащиеся приучаются понимать рисунок.

V. Групповая работа (8–10 мин.)

Групповые занятия являются промежуточными между коллективным (фронтальным) и индивидуальным видами работы. Первоочередная цель групповой работы – эффективная помощь всем средним и слабоуспевающим учащимся. Работа идет в звеньях. Каждое звено состоит из четырех человек, в него входят как сильные, так и слабые учащиеся. Звенья рассаживаются так, чтобы одна пара учащихся сидела за другой. Во время работы «передняя пара» поворачивается к паре, сидящей сзади. На данном уроке ученикам каждого звена предлагается по одной задаче, участие в обсуждении и решении которой принимают все. Это обусловлено тем, что ученики заранее не знают, кто из них будет «отчитываться о проделанной работе». Это может быть представитель, «выдвинутый» учениками или назначенный учителем.

Группам предлагаются задачи, которые являются подготовительными к решению задачи следующего этапа; это «ступеньки к вершине». Здесь ярко прослеживается многоступенчатость в решении сложных задач, где каждая ступень – это задача, но более простая. Подготовительные задачи позволяют сформировать у учащихся опыт в решении задач и тем самым облегчить решение сложной задачи. На эту работу отводится 10–12 мин.

VI. Решение итоговой задачи (8–10 мин.)

Форма работы – фронтальная. Предлагается задача с готовым чертежом и записанными данными; ученики должны внимательно ее изучить. Цель считается достигнутой, если в этой задаче они увидят «свою» задачу, которую они решали в группе. Задача решается в несколько шагов со ссылкой на 3 ранее разобранные задачи, причем поэтапность в решении очень хорошо просматривается с помощью кодоскопных пленок наложением. Задача, ее решение и обсуждение занимают 7–10 мин.

VII. Математический диктант (3–4 мин.)

Эта форма работы позволяет за короткий промежуток времени (3–4 мин) проверить глубину знаний учащихся, выставить оценки, проанализировать ошибки. Диктант следует проводить на листочках под копирку: один экземпляр ученики сдают учителю для проверки, другой оставляют себе. Вопросы построены так, что подразумевается ответ «да» или «нет».

1. Верно ли, что если треугольники равны, то каждый угол первого треугольника равен каждому углу второго треугольника? [Нет.]

2. Верно ли, что каждому углу первого треугольника можно найти угол, равный ему во втором, равном треугольнике? [Да.]

3. Верно ли, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны? [Да.]

4. Верно ли, что если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны? [Нет.]

5. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны? [Нет.]

VIII. Подведение итогов урока. Задание на дом (1–2 мин.)

Учащимся сообщаются результаты их работы, поощряются лучшие ответы учащихся. Урок можно считать удавшимся, если ученики получили от него чувство удовлетворения. Уроки итогового повторения проходят в конце изучения большой темы, т. е. не часто, поэтому на них необходимо создавать атмосферу праздника. Каждый ученик должен осознавать, что он что-то знает, что-то умеет, что пройденная тема «оставила след» в его голове.

Приложение 1

Приложение 3

Фамилия __________

Заработано __________ баллов.

Приложение 4

Таблица 2  Признаки равенства треугольников

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.

Приложение 5

Дано: MK = KN, OK перпендикулярно MN, РBMO = РCNO.
Доказать: D MBO = D NCO.

Приложение 6

Дано: MO = ON, РBMO = РCNO.
Доказать:  D BOC – равнобедренный.

Приложение 7

Дано: MO = ON, AM = DN, AB = CD, РBMO = РCNO.
Доказать: D ABM = D DCN.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. пособие для 6-10 кл. сред. шк. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1987.

2. Гребеннікова Л.Ю. 90 хвилин спілкування з трикутником у 7-му класі. // Всеукраинская газета для учителей «Математика» №45(153), грудень, 2001, с. 4-6.

3. Галайко Р.П. Ознаки рівності трикутників. 7-й клас. // Всеукраинская газета для учителей «Математика» №1(205), січень, 2003, с. 6-10.

4. Готман Э.Г.,Скопец З.А. Задача одна–решения разные.–К.: Рад. шк.,1988.–173 с.

5. Лоповок Л.М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие для учителей. – К.: Рад. шк., 1990. – 128с.