Циркуляция вектора вдоль линии

5. Циркуляция вектора вдоль линии

Роток векторного поля

Элементарная циркуляция вектора  вдоль линии dl равна (рис. 8а)

(16)

Циркуляция вектора вдоль замкнутой линии L (рис. 8б)

(17)

Пусть контур L ограничивает некоторую поверхность S (рис. 8в). Используем теорему Стокса и преобразуем интеграл по кривой L в интеграл по поверхности S:

(18)

Роток (вихрь) вектора определяется как

(19)

Определение

Циркуляция вектора  вдоль замкнутого контура равна потоку его ротора через поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 9)

(20)

 

Потенциальное векторное поле

Определение:

Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярная величина , такая, что

 – называется скалярным потенциалом поля.

Свойства потенциального поля

1.  В потенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е.

 

Доказательство:

2.  Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1)

3.  Работа потенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое не зависит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов в конечных точках.

Циркуляция потенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки, и равна разности значений потенциала в данных точках.

отсюда получаем

4.  Векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми.

Доказательство от противоположного:

Допустим, что есть замкнутая векторная линия L. Тогда по определению векторной линии вдоль соответствующего контура  и, следовательно, и циркуляция по нему больше нуля , что противоречит свойству 2.

5.  Сумма потенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов.

Соленоидальное векторное поле

Определение:

Векторное поленазывается соленоидальным (вихревым), если существует векторная величина такая, что

= rot

– называется векторным потенциалом поля .

Свойства соленоидального поля

1.  Для того чтобы поле  было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство div = 0, т.е. его поток через всякую замкнутую поверхность, погруженную в поле, = 0. Следовательно, соленоидальные поля лишены источников и стоков.

Замечание: Это свойство можно положить в определение.

Доказательство основывается на том, что

=

Следствие = 0

как следствие этого свойства получаем, что поток вектора соленоидального поля через две одинаково ориентированные поверхности S₁ и S₂, опирающиеся на один и тот же контур L, одинаков.