Уравнения равновесия

1.2 Уравнения равновесия

 

Первая группа уравнений выражает условия равновесия элемента среды во взаимодействии с соседними элементами, их называют статическими уравнениями.

Вторая группа уравнений связывает деформации элемента тела с функциями, выражающими перемещение его точек. Они называются геометрическими уравнениями.

Последняя группа уравнений – это уравнения, которые выражают зависимость между напряжениями и деформациями элемента. Именно в этих уравнениях учитываются механические свойства материала, их называют физическими.

Рассмотрим указанные уравнения подробно.

Уравнения равновесия (статические уравнения)

Эти уравнения выражают равенство нулю сумм проекций всех элементарных сил, действующих на элемент , , 1 (рис. 1.2). Приняв напряжения, указанные на этом рисунке, за положительные, получим уравнения равновесия в виде

В этих равенствах учтены проекции сил, действующих на гранях , которые они дают вследствие наклона на малые углы . Косинусы этих малых углов приняты равными единице. Заменив в приведенных равенствах

, , , ,

учтя выражение для частных дифференциалов напряжений (нижние индексы у обозначения частных дифференциалов здесь опущены в целях упрощения записи)

, , , ,

а также сохранив и отбросив слагаемые высшего порядка малости, получим уравнение равновесия в полярных координатах:

Приравняв нулю сумму моментов сил, действующих на момент , , 1, относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости площадки , , и, отбросив слагаемые высшего порядка малости, получим закон парности касательных напряжений .

 

1.3 Формулы Коши (геометрические уравнения)

Эти уравнения устанавливают зависимость между перемещениями и деформациями. Для их вывода будем считать функции ,  заданными, а через них выразим деформации.

Геометрически деформация тела может быть представлена двумя группами простейших деформаций: деформацией растяжения - ,  и деформацией сдвига , которые соответственно выражают относительные удлинения отрезков  и :

,  (рис. 1.3)

и изменение прямого угла между ними на угол сдвига :

(рис. 1.4)

Будем считать, что элемент тела сначала получил перемещение из точки  в точку , как жесткое целое, а затем произошел сдвиг за счет поворота его граней на малые углы , , т.е. угол сдвига равен .

Для определения деформации  рассмотрим отрезок  длиной . Для малых перемещений и деформаций примем, что на изменение длины отрезка влияет лишь перемещение , а его малый наклон, в общем случае вызываемый перемещением , не изменяет его длины.

Обозначим:  - частный дифференциал (линейная часть приращения) функции и при изменении координаты  на .

, т.е.

Тогда

.

Аналогично

,

где производная по s заменена на производную по  по соотношению , так как .

Для определения деформации  рассмотрим рис. 1.4. Так как частные дифференциалы  и , то

, .

Имеем угол сдвига

, где .

Деформации ,  составляют только часть полных деформаций и поэтому отмечены звездочкой. Другую часть этих деформаций получим, давая точкам элемента перемещения  (рис. 1.5) и  (рис. 1.6).

 

Соответственно получим деформации, обусловленные кривизной элемента

,

где знак минус соответствует возрастанию первоначально прямого угла элемента.

Окончательные суммарные деформации

 , ,

будут

Эти равенства представляют геометрические уравнения в полярных координатах, являющиеся аналогом уравнений Коши.