Решение задачи

2.3 Решение задачи

 

Осесимметричное (невозмущенное) состояние

Пластичность

Определим компоненты напряжений в пластичной области .

Так как материал трубы считается несжимаемым, то имеет место условие несжимаемости:

. (2.3.1)

Труба осесимметрическая, следовательно компоненты и напряжения, и перемещения от  не зависят:

 , ,

 , .

Условие пластичности (2.2.19) в начальном состоянии имеет вид:

. (2.3.2)

Из условий равновесий (2.2.17) вытекает:

.

Получили дифференциальное уравнение:

.

Решим:

Из граничных условий (2.2.21) имеем

.

Тогда

  (2.3.3)

Определим компоненты перемещений.

Из формул Коши (2.2.18) следует:

При  из граничных условий (2.2.21) следует

Упругость

Найдем компоненты деформации в упругой области .

Из закона Гука (2.2.20) вытекает

  (2.3.4)

Формулы Коши (2.2.18) примут вид:

Из уравнений равновесий (2.2.17):

Решим:

Из граничных условий (2.2.21)  при

Тогда

  (2.3.5)

Радиус пластической зоны

При  и

 (2.3.6)

Получили неявное уравнение для нахождения радиуса пластической зоны .

Возмущенное состояние

Пластичность

Решение будем искать в виде:

  где  (2.3.7)

Из условия пластичности (2.3.7) следует:

.

.

 

 

.

Формулы (2.2.23) примут вид:

  (2.3.8)

Из условия пластичности (2.2.19) и формул (2.3.8) получим:

.

Функцию  будем искать в виде:

.

Подставим

Пусть

Тогда

Следовательно

Или

.

Тогда функция  примет вид:

. (2.3.9)

Найдем частные производные по  и по .

По формулам (2.3.8) при подстановке имеем:

Из этих соотношений найдём

Составим систему уравнений и решим её.

Введём обозначения:

(2.3.11)

Упругость

Закон Гука:

  (2.3.12)

Формулы Коши:

  (2.3.13)

Уравнения равновесия:

 (2.3.14)

Условие несжимаемости:

 (2.3.15)

Закон Гука можно переписать в виде:

Сложим уравнения системы:

(2.3.12)

можно записать так:

  (2.3.16)

Условие несжимаемости (2.3.15) в силу (2.3.13) примет вид:

Положим

Тогда (2.3.16) запишется в виде:

 (2.3.17)

Подставим (2.3.17) в (2.3.14):

Первое выражение продифференцируем по, второе - по , вычтем из первого выражения второе и разделим на . Тогда

Умножим на .

Функцию  будем искать в виде:

Подставим в (2.3.18) и разделим на .

Решение будем искать в виде .

Или

Тогда

Тогда компоненты напряжений имеют вид:

Получили систему уравнений для нахождения коэффициентов  Решим её методом Крамера.

 

Тогда

 

Тогда

Тогда

Тогда

Тогда

Найдём выражения для компонент деформации.

 

ВЫВОДЫ

 

Задача решена путём приведения к линеаризованному виду. На первом этапе получено решение осесимметричного (невозмущенного) состояния трубы в напряжениях, деформациях и перемещениях – формулы(2.3.3), (2.3.5), а также неоднородное нелинейное уравнение для нахождения радиуса пластической зоны (2.3.6).

Исследуя осесимметричную деформацию трубы, получено решение задачи в общем случае (n>1). Решение записано в виде (2.3.10), где коэффициенты имеют вид (2.3.11) – это в пластической зоне. В упругой зоне – это формулы (2.3.20), а коэффициенты – (2.3.21).

ЛИТЕРАТУРА

1.  Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1990.– 400 с.

2.  Бородин Н.А. Сопротивление материалов. – М.: Машиностроение, 1992. – 224 с.

3.  Вульман С.А. О решении осесимметричных упругопластических задач методом малого параметра. – Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1969, №3.

4.  Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. Упругопластическое состояние конической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. – Вестник МГУ, 1957, №2.

5.  Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. – Изв. АН СССР, 1957, №9.

6.  Ивлев Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела. – М.:Наука, 1978. – 208 с.

7.  Ивлев Д.Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности. – Докл. АН СССР, 1957, т.113, №2.

8.   Ивлев Д.Д. Приближенное решение плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности. – Вестник МГУ, 1957, №5.

9.  Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшее образование, 1982. – 264 с.

10.  Тимошенко С.П. , Гудгер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1979. – 560 с.