Механическая постановка задачи

2.1 Механическая постановка задачи

 

Рассмотрим упругопластическое состояние трубы радиусов , находящейся под действием внутреннего давления , в случае плоской деформации.

Цель данной задачи – определить выражения для компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформации.

Методом решения задачи является метод малого параметра, в качестве которого выбирается величина , характеризующая возмущения границ трубы.

Приведем основные обозначения:

- компоненты напряжений,

 - компоненты деформаций,

 - радиальное и тангенциальное перемещения,

- внутренний и внешний радиусы осесимметричной трубы,

 - полярный радиус,

 - полярный угол,

 - полярный радиус границы пластической зоны,

 - модуль сдвига.

Индекс  указывает на принадлежность компонента к пластической зоне, индекс  - к упругой.

Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесём к величине предела текучести , величины, имеющие размерность длины, - к внешнему радиусу .

Обозначим:

 - внешний радиус;

2.2 Математическая постановка задачи

 

Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра . Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра

, , ,

 , , ,

 , . (2.2.1)

Линеаризация по параметру  заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий и т.п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при  является известным.

Уравнения равновесия линейны относительно компонент напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения. Соотношения связи между компонентами перемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения.

Рассмотрим граничные условия в напряжениях. Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы на контуре  в плоскости двух переменных , . Пусть на границе заданы нормальные и касательные усилия

,  на . (2.2.2)

Уравнение границы  представим в виде

 , . (2.2.3)

Подставляя в (2.2.2) разложение и учитывая, что для компонент ,  справедливы разложения, аналогичные (2.2.1), получим при  разложение

  (2.2.4)

Ограничиваясь четвертым приближением, из (2.2.4) получим, что при  имеет место

 (2.2.5)

Совершенно аналогично записываются выражения линеаризованных граничных условий для : чтобы получить линеаризованные граничные условия для , надо в (2.2.5) заменить  на .

В линеаризованных задачах теории пластичности необходимо уметь записывать граничные условия (2.2.2) через компоненты основной системы координат. Для этого следует учесть угол поворота напряжений при переносе их на исходную окружность ().

Рассмотрим рис 1.8. Угол , образован нормалью к контуру ;

 - угол поворота напряжений при переносе их на исходный контур. Из известных формул теории упругости будем иметь

  (2.2.6)

Если уравнение границы тела  записать в виде , то

 (2.2.7)

Согласно (2.2.3) можно записать

 (2.2.8)

Учитывая, что

  (2.2.9)

Из (2.2.9), (2.2.7), (2.2.8) получим

 (2.2.10)

Обозначая , найдем

 (2.2.11)

 (2.2.12)

Используя (2.2.1), (2.2.5), (2.2.6), (2.2.11), (2.2.12), получим искомые линеаризованные граничные условия: при  должно иметь место

 (2.2.13)

Перейдем к условиям сопряжения решений. На - границе упругой и пластической областей, должно иметь место

 (2.2.14)

Уравнение контура  запишется в виде

 (2.2.15)

Учитывая разложение (2.2.1), подставляя в (2.2.14) выражение (2.2.15), получим исходное линеаризованное условие сопряжения. Очевидно, что условия сопряжения могут быть получены из (2.2.5), если заключить левые части в квадратные скобки, поменять в них  на , …, а  на .

Выпишем условия сопряжения для компоненты :

  (2.2.16)

Условие сопряжения для компонент  имеют вид, вполне аналогичный (2.2.16).

Рассмотрим граничные условия в перемещениях:

 на .

Уравнение границы  представим в виде (2.2.3). Учитывая, что для компонент  справедливы разложения, аналогичные (2.2.3), получим при  разложения, аналогичные (2.2.4), (2.2.5).

Распишем основные соотношения, используемые для решения задачи:

Уравнения равновесия

 (2.2.17)

Формулы Коши

 (2.2.18)

Условие пластичности

 (2.2.19)

Закон Гука

 (2.2.20)

Граничные условия:

, ,

 при ; (2.2.21)

 при ;

 при .

Решение будем искать в виде:

  (2.2.22)

Уравнения равновесия (2.2.17) удовлетворяются, если ввести некоторую функцию , называемую функцией напряжений. Это функция  связана с компонентами напряжения следующими зависимостями:

  (2.2.23)