Линейный закон Гука (физические уравнения)

1.4 Линейный закон Гука (физические уравнения)

 

Для линейно-упругих изотропных тел физическими уравнениями являются соотношения для обобщенного закона Гука, известные из курса сопротивления материалов

,

где  и  - модули упругости при растяжении и сдвиге, а  - коэффициент Пуассона. Для изотропного материала они связаны зависимостью , так что независимых постоянных упругости для указанного материала имеется только две.

Запишем выражение для относительной объемной деформации элемента

,

где  - модуль объемной деформации материала.

Заметим, что при  модуль объемной деформации , что, согласно выражению для относительной объемной деформации, соответствует материалу, не изменяющему объем при деформации (несжимаемый материал).

В случае плоского напряженного состояния система примет вид:

.

Для плоской деформации () закон Гука записывается в несколько иной форме в виду наличия напряжения :

,

.

Эта система совершенно аналогична системе, описывающей напряженное состояние, но содержит новые условные константы упругости

, ,

причем легко проверить, что справедливо равенство

.

С учетом введенных условных констант упругости физические соотношения для плоской деформации примут тот же вид, что и для случая плоского напряженного состояния, но в них надо заменить  на ,  на .

Таким образом, любое решение приведенных выше уравнений для плоского напряженного состояния может быть применено и для соответствующего случая плоской деформации после замены действительных констант упругости данного материала на условные. Учитывая сказанное, в дальнейшем будем подразумевать под плоской задачей случай плоского напряженного состояния.

В полярной системе координат уравнения закона Гука остаются без изменения, меняются лишь индексы у напряжений и деформаций:

.

Полученные уравнения дают возможность вычислить деформации, если известны напряжения. Назовем их законом Гука в прямой форме.

Преобразуем

.

В обратной форме

или, так как , то

.

1.5 Условия пластичности

 

При решении задач теории пластичности во многих случаях необходимо знать, при каких условиях материал в рассматриваемой точке переходит из упругого состояния в пластическое. Такие условия называются условиями пластичности. При линейном напряженном состоянии условие пластичности устанавливается опытным путем. В этом случае отлично от нуля только главное напряжение  и пластические деформации возникают, когда

; , (1.5.1)

где  - предел текучести при растяжении (постоянная величина для каждого материала). При чистом сдвиге условие пластичности, получаемое экспериментальным путем, имеет вид

 ,

где - предел текучести при чистом сдвиге (также постоянная величина для каждого материала).

В общем случае плоского или объемного напряженных состояний экспериментально невозможно установить условия пластичности для бесконечного множества соотношений между составляющими напряжений. Поэтому условие пластичности для сложного напряженного состояния устанавливается гипотетическим путем с последующей экспериментальной проверкой.

Рассмотрим два условия пластичности, наиболее часто используемые в теории пластичности и достаточно правильно определяющие переход материала из упругого состояния в пластическое.

Первое условие – условие пластичности Треска - Сен-Венана – гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда максимальные касательные напряжения достигают значения, равного пределу текучести при чистом сдвиге:

. (1.5.2)

Максимальные касательные напряжения определяются формулой

: . (1.5.3)

Подставляя сюда главные напряжения при линейном напряженном состоянии (1.5.1), в момент появления пластических деформаций получаем

. (1.5.4)

Сравнивая формулы (1.5.2) и (1.5.4) заключаем, что

. (1.5.5)

После подстановки выражений ( 1.5.3 ) и ( 1.5.5 ) в формулу ( 1.5.1 ) приходим к условию пластичности Треска-Сен-Венана в таком виде:

. (1.5.6)

Второе условие – условие пластичности Мизеса-Генки – гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторого постоянного для некоторого материала значения:

. (1.5.7)

Определим эту постоянную из результатов испытаний при простом растяжении. Подставляя в формулу

 (1.5.8)

главные напряжения (1.5.1), найдем значение интенсивности касательных напряжений при растяжении в момент появления пластических деформаций:

. (1.5.9)

Сравнивая формулы (1.5.9) и (1.5.7), заключаем, что постоянная

. (1.5.10)

Подставляя выражения (1.5.8) и (1.5.10) в формулу (1.5.7), приходим к условию пластичности Губера-Мизеса-Генки в такой форме:

 (1.5.11)

Или

.

Оба рассмотренных условия пластичности дают весьма близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждают условие Губера-Мизеса-Генки. Кроме того, это условие удобнее с математической точки зрения, так как выражение  через шесть составляющих напряжений очень громоздко, а  выражается через эти составляющие сравнительно просто. Поэтому в теории пластичности чаще используется условие пластичности Губера-Мизеса-Генки.

Ассоциированный закон

Пластические деформации возникают при активном нагружении материала и не возникают при нейтральном нагружении и разгрузке.

Соотношения связи  в теории пластичности формулируется обычно на основе принципа максимума Мизеса: при фиксированных параметрах  для любого данного значения компонент приращений пластической деформации  имеет место неравенство

, (1.5.12)

где  - действительные компоненты напряжения, а  - компоненты любого возможного напряженного состояния, допускаемого данной функцией нагружения:

.

Из принципа максимума Мизеса следует ассоциированный закон течения – закон направленности приращения пластической деформации (или скорости пластической деформации) по градиенту к поверхности нагружения.

В самом деле, предположим, что приращение пластической деформации  не зависит от приращения напряжений.

Рассмотрим рис. 1.7. Согласно (1.5.12) угол между векторами  и  должен быть не тупым. В силу произвольности вектора , не выходящего за поверхность нагружения , неравенство (1.5.12) может быть выполнено только в случае ортогональности  к , откуда имеем

 или

, , . (1.5.13)

Выражение (1.5.13) определяет ассоциированный закон пластического течения.

ГЛАВА II. ЗАДАЧА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЫ