Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

Пусть  - положительная функция и  - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись

при

означает, что найдутся такие числа  и M, что при  имеем .

Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если  - положительная функция и  - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись

при

означает, что найдутся такие числа  и , что  на .

Вспомогательная лемма

Если  дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции

имеет место асимптотическое представление

при .

Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:

. (26)

Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя  на , найдем:

,

но, заменив на , получим:

.

Если  положительна, убывает и стремиться к нулю при , то  и , а следовательно, и  есть  при , поэтому

при ,

откуда

при .

Итак, получаем асимптотическое представление:

при . (27)

Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:

,

.

Очевидно,  дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют  и , поэтому  становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:

,

где первое слагаемое правой части  есть  при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом

,

который сходится, так как

при ;

следовательно, второе слагаемое есть тоже  при .

Итак, имеем:

при . (28)

Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:

при . (29)

Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

при . (29`)

Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций .

Вывод асимптотической формулы для J_n(x)

Заменяя  на , получим:

(учитывая, что  есть четная функция от , а  есть нечетная функция от ). Подстановка  дает:

,

где  есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что  есть полином n-й степени относительно . Но

и, заменяя в первом из этих интегралов  на , получим:

Так как  и  на  имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:

;

но ; , следовательно,

.

Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:

при . (30)

Эта формула показывает, что  с точностью до слагаемого порядка  является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.

В частности,

при ; (30`)

при . (30``)

Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.

Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.

1. Найти решение уравнения Бесселя при

,

удовлетворяющее начальным условиям при ,  и .

Решение.

На основании формулы (5`) находим одно частное решение:

.

2. Найти одно из решений уравнения:

, .

Решение.

Сделаем замену

.

При  получим:

.

При  будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:

.

Уравнение на  имеет вид ;

, , , , поэтому

,

, .

Рисунок 1 – График функции y=J₀(x)

Рисунок 2 – График функции y=J₁(x)

Список литературы

1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.

2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.