Вычисление верхнего центрального показателя системы

4.2 Вычисление верхнего центрального показателя системы

По-прежнему рассматриваем систему (1):

.

Применительно к нашей системе семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций P состоит из двух функций  и, то есть

P,

где

Для вычисления верхнего центрального показателя  нам понадобится функция

 .

Докажем, что функция  является верхней для семейства P.

Доказательство:

По определению 1.7 ─ верхняя функция для семейства P, если

 .

Докажем, что .

.

Следовательно,

.

Докажем, что .

Следовательно,

,

то есть для любого  

Тогда по определению верхней функции

(P) .

Вычислим .

По определению 1.6 верхнего среднего значения функции

 

Для всякого  найдется такое , что

 .

Тогда

.

Вычислим отдельно .

Итак,

.

Оценим сверху .

. (*)

Учитывая (*) и оценивая сверху, получаем

.

Тогда (при )

,

то есть .

Оценивая снизу, получаем

,

где .

Тогда

,

то есть .

Следовательно, .

Теперь изобразим функции , и  на графике.

График функции :

График функции :

Очевидно, что на отрезках  ,

а на отрезках   для любого .

Теперь покажем, что верхний центральный показатель  совпадает с , то есть

 .

Докажем следующим образом:

1.Введем функцию .

Разобьем ось  на промежутки  точками  

Используя определение 1.12, положим

если

Оценим .

Возможны три случая:

1)  если , то ; значит,

.

2) если , то ; значит,

.

2)  если , то ; значит,

.

Таким образом, .

2.Докажем, что .

Очевидно, что ─ функция ограниченная и

.

Отсюда следует, что

,

то есть

,

Так как

,

то

.

3.Докажем, что  для любого .

По определению 1.6 вычислим , используя утверждение 1.2:

.

По определению 1.6 вычислим , используя утверждение 1.2:

.

Теперь рассмотрим все возможные случаи расположений отрезков  по отношению к отрезкам  и .

I. Если , где , то

,

следовательно,

;

II. если , где , то

,

следовательно,

;

III. если ,

то

;

IV. если ,

то

;

1)  Для каждого  найдется такое , что выполняется

.

Тогда

;

2)  Для каждого  найдется такое , что выполняется

 .

Тогда

.

Из вышеперечисленных случаев 1) и 2) следует, что

 , (**)

для любого  такого, что

 , .

Учитывая неравенство (**), перейдем к непосредственному доказательству неравенства :

.

Теперь оценим выражение .

Очевидно, выполняется следующее неравенство:

 .

Перейдем к пределам:

,

.

Следовательно,

.

Значит,

,

то есть для любого  .

По определению 1.11

.

Таким образом,

 для любого .

По замечанию 1.4 получаем, что

.

Следовательно,

.

Так как мы доказали, что (P), то есть - верхняя функция для семейства P, то, опираясь на определение 1.9, получаем, что

,

то есть

.

А значит,

.

Итак, в этом разделе был рассмотрен случай

.

5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

Р.Э. Виноград ввел[5] понятие верхнего центрального показателя  системы

. (1)

Переход от невозмущенной системы (1) к возмущенной системе

сопровождается изменением показателей. Верхний центральный показатель  системы (1) и характеризует это изменение в определенном классе возмущений. Имеет место теорема Р.Э. Винограда.

Теорема [2,с.164-166;3]. Для любого  можно указать , что при любых непрерывных возмущениях ,

 ,

будут выполняться неравенства

.

В.В. Миллионщиковым доказано, что последняя оценка неулучшаема, а именно

Теорема [4]. Для любого  найдется возмущение

Q_e, ||Q_e||,

такое, что система

Q_e

имеет решение , для которой

.

Значит, для рассмотренной в дипломной работе системы наиболее быстро растущими решениями «руководит» показатель , а не показатель .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной дипломной работе рассматриваются соотношения между старшими верхним центральнымпоказателями линейной системы

с кусочно непрерывными ограниченными коэффициентами.

Показано, что существует два различных случая отношений между старшим  и верхним центральным показателями линейных систем: . На примере заданной линейной однородной диагональной системы дифференциальных уравнений подробно рассмотрены вычисления характеристического показателя Ляпунова, спектра, старшего и верхнего центрального показателей.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости.-

Москва, «Наука», 1967г.

2. Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий, Теория

показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.- Москва, «Наука», 1966г.

3. Р.Э. Виноград, Оценка скачка старшего характеристического

показателя при малых возмущениях.-Докл. АН СССР, 1957г., т.114, №3, с.459-461.

4. В.М. Миллионщиков, Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем.- Сиб. мат.ж., 1969г., т.10, №1, с.99-104.

5. Р.Э. Виноград, О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений.- Матем.сб., 1957г., т.42(84), С.207-222.