Навигация
5. Теорема Гурвица
Рассмотрим n-мерное Евклидово пространство 
. Если 
, то его длиной называют число 
. Естественно поставить
Вопрос 1. Для каких n существует билинейное отображение 
такое, что 
для любых 
?
Заметим, что, если выполнено это условие , то 
-алгебра без делителей нуля (т.к. 
и либо а=0, либо b=0). Более того, если 
, то для любого и разрешимо уравнение 
и 
. Т.к. отображения 
и 
имеют нулевые ядра и следовательно являются сюръективными (т.е. является телом, вообще говоря неассоциативным и некоммутативным). Если 
ортонормированный базис 
, то 
и если 
, то 
, где 
и условие эквивалентно следующему вопросу.
Вопрос 2: Для каких n существует тождество 
, где 
-любые действительные числа, 
и матрицы 
являются постоянными, т.е. не зависят от 
?
В 1989 году Гурвиц доказал, что представлять произведение целых чисел в виде сумм квадратов целых чисел можно только для множителей, состоящих из сумм двух, четырех и восьми квадратов.
Теорема 4: Вопросы 1-2 имеют решение только при n=1,2,4,8.
Доказательство: Будем считать, что 
. Положим 
,
. Тогда равенство 
=
, где 
переписывается в виде
=
.
Фиксируем 
и рассмотрим левую и правую части многочлена от 
.Тогда
,
,
Если 
, то предыдущие равенства равносильны 
. Перепишем 
, где 
(т.е. 
не зависит от ). Тогда из равенства следует эквивалентное равенство 
, сравнивая коэффициенты при 
, последнее влечет за собой 
, i=1,2,..,n и ,следовательно, 
. Положим 
. Тогда предыдущее равенство можно переписать в виде:
, 
*
.
Сравнивая коэффициенты при , получим, что 
,
,
. Получим 
, 
или 
, 
, 
. Покажем, что существование таких матриц 
влечет за собой, что n=2,4,8.
-кососимметричная и невырожденная. Значит n-четное число. В частности 
Породим этими матрицами подалгебру
Матрица вида 
, где 
является системой K . Их число равно 
. Покажем, что, по меньшей мере, 
из них линейно независимы. Для этого сначала заметим, что 
, 
удовлетворяет
=
=
В частности М - симметричная тогда и только тогда, когда 
, либо 
. Если существует соотношение 
, где 
-слева от 
, то можно считать, что все 
и все собственные подмножества 
являются линейно независимыми. Тогда, умножая на 
, получим соотношение вида: 
. При этом все являются симметричными (ввиду линейной независимости 
).
Пусть 
вовлекает наименьшее число факторов r . Тогда
.
Если 
и , то выберем 
и умножим левую и правые части на . Получим, что 
. Т.к. -кососимметричная, а 
-симметричная, то получили противоречие.
Если , то умножим обе части на 
. Получим, что 
, где 
( их количество 4e-1) – симметричная матрица, а слева кососимметричная матрица. Противоречие. Следовательно, 
и 
, и как показывают рассуждения выше, либо 
, либо 
. Если 
, то, умножая на 
, получим, что 
(их число n-2=4e-1) – симметричная. Противоречие. следовательно . В частности, если 
и , то получаем противоречие, т.е. 
. Пусть . Докажем, что 
- линейно независимы. Их число равно 
. Действительно, если между ними есть линейно зависимые, то получим, что 
, где длина
, 
Длина
Т.е. мы не получили . Противоречие.
Итак, 
и 
. Это возможно при 
. Если n<10, то при n=2,4,8 теорема верна. Далее n-четное число. Осталось понять, что при n=6 кососимметричные матрицы из 
линейно независимы.
в 
.
С другой стороны, среди 
, где 
(их число равно 32) количество кососимметричных равно 
. Т.к. 
, то все эти матрицы линейно независимы. В частности и эти линейно независимы 
. С другой стороны их число меньше 15. Противоречие. (Можно сослаться что , 6-не подходит).
Таким образом, теорема Гурвица доказана. [1]
Пример 2:
Можно ответить на вопрос Гурвица в случае s=n. Это сделал сам Гурвиц в конце жизни, через 20 лет после того, как поставил свой вопрос. Ответ, оказывается, связан с представлениями алгебр Клиффорда. Ответ звучит так: формула типа (r, n, n) существует тогда и только тогда, когда число r не превосходит числа p, зависящего от n следующим образом. Пусть 
-наибольшая степень двойки, на которую делится число n. Разделим на 4 с остатком. Обозначим через a неполное частное, а через b остаток. Тогда =4a+b, 
. Число p равно 
[5]
Похожие работы
... стратегии игрока В. Задача имеет решение игры, если её матрицы не содержит седловой точки (). Расчет выигрышей производится по целевой функции: Система ограничения: 2.3.Описания метода Гурвица 2.3.1. Выбираем по строкам наименьший выигрыш и заполняем колонку а. 2.3.2. Выбираем по строкам наибольший выигрыши и заполняем колонку 2.3.3. Производим расчёт выигрыша по формуле: ; ...
... процесс является колебательным и имеет А1 и А3 (первая и третья амплитуды переходного процесса), то можно найти и степень затухания. 6. Функциональная схема Системы Автоматического Управления в общем виде выглядит следующим образом: 7. Вывод Математическая модель объекта регулирования системы, полученная в работе, является достаточно адекватной исходным данным. Об ...
... , чем обычно. Общий заработок в 1000 $ они должны поделить следующим образом: певцу 350 $, пианисту 435 $, ударнику 175 $. Глава . Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Элементы теории статистических решений. Предметом рассмотрения данного раздела служат статистические модели приянятия решений, трактуемые как статистические игры или игры с природой при использовании ...
... какая-либо из имеющихся. ж) Придумайте взвешивающую формулу (ее придется объяснить при защите курсовой работы!) и найдите по ней худшую и лучшую операции. 18. Произвести математико-статистический анализ за T лет Xt, Kt, Lt (t = 1, …, T) о выпуске продукции (в стоимостном виде), ОПФ и числе занятых исследуемого производственного экономического объекта: а) найти прогноз выпуска, фондов ...
0 комментариев