Раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;

1.  раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;

2.  проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.

Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения конкретных задач.
Глава 1. Операторные уравнения §1.Определение линейного оператора

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если

А(λ₁x₁ + λ₂x₂) = λ₁А(x₁) + λ₂А(x₂)

для любых x₁,x₂ Î D и любых скаляров λ₁ и λ₂.

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).

Оператор А называется непрерывным в точке x₀ Î X, если Аx → Аx₀ при x → x₀. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x₀ Î X можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой точке x₀ Î X.

Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx₀ = А (x – x₀). Если x → x₀, то z = x – x₀ → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx₀ → 0, что и требовалось доказать.

Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.

Пусть S₁(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.

Будем называть линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S₁(0), т.е. если ограничено множество

{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство

||Аx|| ≤ с (1)

Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

||Аx|| ≤ с ||x||  (2)

для любых x Î X, где с – постоянная.

Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§2. Норма линейного оператора

В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:

. (1)

Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество

ограничено сверху. По теореме о верхней грани существует .

Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x Î S₁(0). Отсюда

||Аx|| ≤ ||А|| ||x||, (2)

справедливое для всех x Î X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.

Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).

§3.Обратные операторы

Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения

Если существует обратный оператор , то решение задачи записывается в явном виде:

Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.

Пусть задан линейный оператор: А: X → Y, где X,Y – линейные пространства, причем его область определения D(A)X, а область значений R(A)Y.

Введем множество  - множество нулей оператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0 Î N(A)

Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=, (т.е. множество А нулей состоит только из элемента 0)

Теорема 5. Оператор А^-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x Î D(A) выполняется неравенство

. (1)

Введем теперь следующее важное понятие.

Будем говорить, что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A^-1 Î L(Y, X), (т.е. ограничен).

Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 6. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех  выполняется неравенство (1).

В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора A Î L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.

Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А^-1 ограничен.

Иными словами, если А Î L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.

Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения

Ax = y (2)

Если А непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A^-1y для любой правой части у. Если при этом (решение того же уравнения с правой частью ), то . Это означает, что малое изменение правой части y влечет малое изменение решения, или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.

Пусть А Î L(X,Y). Оператор U Î L(X,Y) будем называть правым обратным к А, если AU = I_y. Оператор V Î L(X,Y) будем называть левым обратным к А, если VA = I_x.

Здесь через I_y (I_x) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение А_r^–1, а для левого – А_L^–1.

Лемма 1. Если существует правый обратный А_r^–1 к А, то уравнение (2) имеет решение

x = А_r^–1 y

Если существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.

Доказательство.

А(А_r^–1 y) = (А А_r^–1)y = y,

т.е. x = А_r^–1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.

Далее, пусть существует А_L^–1. рассмотрим N(A). Пусть x Î N(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор А_L^–1, тогда А_L^–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x Î N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.

Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы  - единичного шара в L(X), т.е. все такие А, для которых справедливо неравенство .

Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.

Теорема 8. Пусть  и ; тогда оператор I – C непрерывно обратим. При этом справедливы оценки

(1)

(2)

Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд

I+C+C²+C³+… (3)

Так как , то ряд (3) оценивается сходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией

По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.

.

Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что

,

.

Но при этом  (ибо  и ), а . Поэтому, в пределе имеем равенства (I – C)S = I  и S(I – C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I – C)^-1. Далее,

,

.

Переходя в этих неравенствах к пределу при , получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А Î L(X,Y) непрерывно обратим.

Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство . Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки

, .

§4. Абстрактные функции

Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.

Рассмотрим функцию x() с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.

Пусть x() определена в окрестности точки ₀, за исключением, быть может, самой точки ₀. Элемент а Î X будем называть пределом функции x() при →₀ и записывать

при →₀,

если при →₀.

Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра.

Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида , где x_к Î X, а  – вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную –₀ = , то в дальнейшем мы полагаем ₀ = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

(1)

Конечная сумма  называется частичной суммой степенного ряда (1).

Пусть  – множество всех точек , для которых ряд (1) сходится.  называется областью сходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при Î  обозначим через S() (это абстрактная функция, определенная на  со значениями в X), при этом будем писать

, при Î .

Последнее равенство означает, что S_n() → S() при n→∞ для всех Î .

Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î . Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.

Теорема 10 (Абель). Пусть₀ ≠ 0 и ₀ Î , тогда круг  содержится в . Во всяком круге S_r(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно .

Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге S_R(0), R>0:

;

тогда равны все их коэффициенты:  (k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция  числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ₀.

По определению производной x’(λ₀) функции x(λ) в точке λ₀ называется предел

,

если этот предел существует (и конечен). Если  имеет производную в точке λ₀, то она называется дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x() будем называть аналитической при =0, если она представима в некоторой окрестности точки =0 сходящимся степенным рядом:

(1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 12. Если x() – аналитическая абстрактная функция при =0, то x() непрерывна в круге S_R(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).

Теорема 13. Если x() – аналитическая абстрактная функция при =0, то x() дифференцируема в круге S_R(0) сходимости своего степенного разложения.

Пусть x() бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

называется рядом Тейлора функции x().

Если x() аналитична при =0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в S_R(0).

Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.

§6. Метод малого параметра в простейшем случае

Рассмотрим следующее уравнение:

Аx –Сx=y. (1)

Здесь А, С Î L(X,Y) и y Î Y заданы,  - скалярный параметр, , а неизвестное x разыскивается в X. Если , т.е.

, (2)

то, согласно теореме 9, оператор А–С непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой

. (3)

Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра  и, следовательно, может быть найдено в виде

(4)

На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  в правой и левой частях получившегося тождества:

.

Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x₀, x₁, …:

Аx₀=y, Аx₁=Сx₀, …, Аx_к=Сx_к-1, …

Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим

x₀=А^–1y, x₁= А^–1(СА^–1)y, …, x_к= А^–1(СА^–1)^кy, …

Следовательно,

. (5)

Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением

то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим

.

§7. Метод малого параметра в общем случае

Пусть дано уравнение

А()х = у(). (1)

Здесь А()Î L(X,Y) задана при каждом , , или, как говорят, А() – оператор-функция. Пусть А() аналитична при =0, а оператор А(0) непрерывно обратим, у() – заданная аналитическая функция  при =0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскивается в X.

Аналитичность А() и у() в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны  и соответственно:

, . (2)

Из аналитичности А() следует непрерывность А() при =0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге

.

Отсюда вытекает, что в круге оператор-функция А() непрерывно обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение

,

при этом x() аналитична в точке =0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(, r). Для фактического построения x() удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x() в виде

. (3)

Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x₀, x₁, x₂, …:

А₀x₀ = y₀, А₀x₁+А₁x₀ = y₁,

А₀x₂ + А₁x₁ + А₂x₀ = y₂, (4)

. . . . . . . . . . .

, …

Здесь А₀ = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим

, , … (5)

Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А().

§8. Метод продолжения по параметру 8.1. Формулировка основной теоремы

 В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть  и А непрерывно обратим. Если , то, согласно теореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на отрезке [0, 1] оператор - функцию  такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем предполагать, что для оператор – функции  выполняется следующее условие:

1.  Существует постоянная  такая, что при всех  и при любых  справедливо неравенство

. (1)

Ниже будет доказана следующая теорема.

Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом ), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем .

Замечание к теореме 14. Если выполнено условие I при  и оператор  непрерывно обратим, то

. (2)

Действительно, пусть , а , т.е.. тогда условие I дает  или , что означает справедливость неравенства (2).

8.2. Простейший случай продолжения по параметру

Приведем здесь доказательство теоремы 14 для случая, когда . Согласно условию этой теоремы . По замечанию 14 . Имеем следующую оценку:

.

Пусть , где . На [0, δ] имеем , и, следовательно, по теореме 9 А(λ) при всяком  непрерывно обратим. Если окажется, то , то теорема доказана.

Пусть δ < 1. Возьмем А(δ). Согласно замечанию п.14.1 . Повторяем наши рассуждения при λ>δ. Имеем оценку

,

если , откуда А(λ) непрерывно обратим при каждом . Если , то теорема доказана. Если же 2δ < 1, то  и рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки λ=1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.

Доказательство теоремы в общем случае

Рассмотренный выше частный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.

Лемма. Пусть М – некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].

Замечание 1. условие открытости М на [0,1] понимается так: для любого  существует δ > 0 такое, что .

Доказательство леммы. Пусть N = [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = Æ – пустое множество. Допустим противное, что N ¹ Æ. Поскольку М ¹ Æ и ограничено сверху, то существует b = supM, причем b Î M вследствие замкнутости. Покажем, что b = 1. Если b <1, то вследствие открытости M на [0, 1] найдется x > b, x Î M. Это противоречит определению supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1Î М.

Теперь рассмотрим множество N. Как дополнение к М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с supM . мы получаем, что 1 Î N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное противоречие доказывает, что допущение N ¹ Æ неверно. Итак, N= Æ, т.е. М = [0, 1]. Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор А(λ) непрерывно обратим. Согласно замечанию 1  для всех λ Î М. М не пусто, поскольку 0 Î [0, 1].

воспользуемся непрерывностью оператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e > 0 найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ Î [0, 1] таких, что  < δ выполняется неравенство  <e.

Возьмем e = γ, тогда при  < δ(γ), λ Î [0, 1]

<1.

По теореме 9 §3 А(λ) непрерывно обратим для всех таких λ. Итак, вместе с λ₀ М содержит , т.е. М открыто на [0, 1].

Докажем, что М замкнуто на [0, 1]. Пусть  и  при . Надо доказать, что λ₀ М. воспользуемся неравенством  и получим

.

Вследствие непрерывности А(λ) по λ для любого e > 0 находим номер N = N(e) такой, что при n > N будет <e. Возьмем e = γ, тогда для n = N(γ)+1 <1.

По теореме 9 А(λ₀) непрерывно обратим, т.е. λ₀ Î М,  и, значит, М замкнуто на [0, 1]. По лемме М = [0, 1] . в частности, 1Î М и . Теорема полностью доказана.

Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:

А(λ)х = у, λÎ [0, 1]. (1*)

Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком λÎ [0, 1] справедлива оценка

,  (2*)

где с – некоторая постоянная, не зависящая от х, у и λ. Оценка такого рода называется априорной оценкой для решения уравнения (1*). Очевидно, априорная оценка (2*) представляет собой лишь иначе записанное условие (1): .

Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.

Глава 2. Приложение

Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ:

(1)

Это уравнение вида А()х = у() – операторное уравнение в С[-π; π], где

Покажем, что А() аналитична в т. 0, т.е. разлагается в ряд вида . Разложим функцию А() в ряд Тейлора: .

Найдем к – ую производную:

Разложим функцию в ряд Тейлора в т. 0:

Таким образом, функция аналитична, следовательно, непрерывна при  = 0, а значит, уравнение имеет единственное решение.

Операторные коэффициенты имеют вид:

;  (2)

I. Начнем с уравнения А₀x₀ = y системы (4) §7, где у нас теперь y₀=y, y_к=0, к ≥ 1.

Заменим, , поэтому

, (4)

где

,

Для того, чтобы найти коэффициент А в уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:

,

подсчитаем интегралы:

, ,

Тогда, подставив в уравнение, получаем: . Отсюда:

. (5)

Найдем коэффициент В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:

.

Подсчитав соответствующие интегралы:

, , , подставив и выразив В, получаем:

. (6)

Подставим найденные коэффициенты (5) и (6) в уравнение (4):

и свернем по формуле:

II. Найдем теперь x₁(t), для этого необходимо решить следующее уравнение системы (4) §7: А₀x₁+А₁x₀ = y₁. Так как y₁=0 в нашем случае, то мы будем решать уравнение А₀x₁= – А₁x₀.

Обозначим , т.к. мы знаем теперь x₀(s), следовательно φ(t) можно вычислить. Имеем:

Как в предыдущем случае заменим, , поэтому

 . (7)

где , .

Умножим уравнение (7) на cos t и проинтегрируем по t от –π до π – получим коэффициент А:

Подсчитав: , , ,

имеем .

Аналогично умножив уравнение (7) на sin t и проинтегрируем по t от –π до π – получим коэффициент В: .

Составляем функцию x₁(t), подставив коэффициенты А и В в уравнение и свернув равенство по формуле косинуса разности:

.

Таким способом мы можем найти все остальные решения уравнения с любой степенью точности.

Пример 2. Применим метод продолжения по параметру для оценки разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения, а потом решим ее методом малого параметра.

–x'' + b(t)x' +c(t)x = y(t), 0< t <1, (1)

x(0) = x(1) = 0 (2)

Здесь c(t) непрерывна на [0, 1], b(t) непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Предположим еще, что на [0, 1] c(t) – b(t)'/2 ≥ α > –8/π (*).

Покажем методом продолжения по параметру, что в этих условиях при всякой правой части y ÎY = С [0, 1] существует единственное решение задачи x Î X = С² [0, 1] – пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям (2), и с нормой , где .

Запишем задачу (1) – (2) в операторном виде: Вx = y

Здесь  определен всюду на X со значениями в Y. В качестве оператора А примем ÎL(X, Y).

Соединим операторы А и В отрезком

, λ Î [0, 1].

Теперь необходимо установить априорную оценку для решений краевой задачи

–x'' + λb(t)x' + λc(t)x = y(t), 0< t <1, (3)

x(0) = x(1) = 0 (4)

Как только такая оценка будет получена, из теоремы п.8.1. будет следовать однозначная разрешимость краевой задачи (3) – (4).

Умножим уравнение (3) на x(t) и проинтегрируем полученное равенство по t от 0 до 1:

.

Заметим, с учетом граничных условий:

Подставим полученные интегралы и сгруппируем относительно λ:

(5)

Произведем оценку всех трех слагаемых в этом равенстве.

Докажем, что . (6)

Заметим, что , и значит по неравенству Коши – Буняковского:

.

Точно так же:

.

Перемножим эти неравенства:

. (6*)

Отсюда, замечая, что , получим

 .

Далее (7)

– это следует из предположения (*).

Последний интеграл равенства (5) можно оценить, используя скалярный квадрат:

, где .

Для любого ε > 0   

. (8)

Используя полученные неравенства (6), (7), (8) и подставляя их в равенство (5), получаем:

,

считая ε > 0 достаточно малым, имеем

.

Выберем  и получим

, где .

Возвращаясь снова к равенству (5), получим следующую оценку:

, где , а .

Теперь с помощью оценки (6*) имеем  и, значит, учитывая, что , получим

(9)

Из уравнения (3) можем получить оценки для  и :

. (10)

Здесь  оценивается через  и . Действительно, x(0) = x(1) = 0. по теореме Роля на (0, 1) найдется точка ξ, в которой x'(ξ) = 0. Тогда, запишем уравнение (3) в виде

,

(в этом можно убедиться, взяв производную:

 

и сократив)

интегрируем его от ξ до θ и получим

.

Отсюда имеем оценку

, (11)

где .

Теперь подставим полученные результаты в (10):

. (12)

Теперь (9), (11) и (12) дают искомую априорную оценку:

(постоянную с₄ нетрудно подсчитать, сложив неравенства(9), (11), (12)и выполнив преобразования).

Таким образом, доказательство разрешимости задачи получено, теперь приступим к ее решению методом малого параметра.

Итак, рассмотрим операторное уравнение:

А(λ)x = y(λ),

где .

I. Начнем с уравнения А₀x₀ = y (где А₀ – коэффициент при нулевой степени λ) системы (4) §7, причем y₀ = y, y_к = 0, к ≥ 1.

 , причем с₁ подбирается так, чтобы выполнялось краевое условие: x₀(1) = 0.

II. Найдем x₁(t), для этого необходимо решить следующее уравнение: А₀x₁+А₁x₀ = y₁. Так как y₁=0, то мы будем решать уравнение А₀x₁= – А₁x₀.

Из того, что следует следующее уравнение:

    

.

По аналогии c₂ и c₃ подбираем так, чтобы выполнялось краевое условие: x₀(1) = 0.

Таким образом, решения нашей краевой задачи выглядит так:

,

подставляя найденные решения, имеем:

или

Литература

1.  Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. М., 1962

2.  Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1982.

3.  Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1993.

4.  Функциональный анализ./Под. ред. С. Г. Крейна. М., 1972

5.  Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теория операторов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1983.