Метод простої заміни

2.4 Метод простої заміни

 

2.4.1 Серветка Серпінського

Фрактал серветка Серпінського може бути побудований як за допомогою методу простої заміни, який застосовують для побудови регулярних фракталів, так і за допомогою методу IFS.

 Розглянемо алгоритм побудови, заснований на методі простої заміни. Правильний трикутник ділений середніми лініями на чотири рівні трикутники і внутрішність центрального викидаємо. З трьома трикутниками, що залишилися, робимо те ж саме і так нескінченне число разів. Після певного числа викидань залишається множина S, представлена на мал. 9, яка є серветкою Серпінського.

Мал.9.

Фрактальна розмірність серветки Серпінського підраховується по формулі D=ln3/ln2=1,5849. Серветка має нульову площу, оскільки неважко перевірити, що в процесі її побудови була виключена площа, в точності рівна площі вихідного трикутника. Про це ж свідчить і значення фрактальної розмірності D<2, яка менше розмірності площини, на якій знаходиться цей об'єкт.

Всім відомий трикутник Паскаля (мал.10) за допомогою якого обчислюють коефіцієнти розкладу виразу виду . Починаючи з трикутника, що складається з одиниць, обчислюють значення на кожному наступному рівні шляхом додавання сусідніх чисел; останньою ставлять одиницю.

Мал.10

Таким чином можна наприклад визначити, що:

.

Мал.11

Цей трикутник можна перетворити на привабливий фрактальний візерунок (мал.11), якщо замінити непарні коефіцієнти одиницями, а парні — нулями.

Візерунок демонструє властивості коефіцієнтів, що використовується при «арифметизації» комп’ютерних програм, що перетворює їх в алгебраїчні рівняння.

2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея

Для більшості регулярних фракталів фрактальна розмірність D менша, ніж розмірність d того простору, в якому знаходиться даний фрактальний об'єкт. Нерівність D < d відображає факт некомпактності фрактала, причому чим більше розрізняються величини D і d, тим більше рихлим є фрактал. Існують фрактали, які щільно заповнюють простір, в якому вони знаходяться, так що їх фрактальна розмірність D = d. Одним з прикладів такого роду є криві Пеано (Peano curves). Дракон Хартера-Хейтуея (мал.12) є прикладом кривої Пеано, для якої область, яку вона заповнює на площині, має химерну форму.

Мал.12

Перші чотири кроки його побудови представлено на мал.12

Як випливає з мал.13 кожний з відрізків прямої на наступному кроці замінюється на два відрізки, створюючих бічні сторони рівнобедреного прямокутного трикутника, для якого вихідний відрізок був би гіпотенузою. В результаті відрізок як би прогинається під прямим кутом. Напрям прогину чергується. Перший відрізок прогинається вправо (по ходу руху зліва направо), другий - вліво, третій - знову управо і так далі На мал.13 пунктиром показана конфігурація попереднього кроку. Таким чином, після кожного кроку число наявних відрізків подвоюється, а довжина кожного відповідно зменшується вдвічі. Тому фрактальна розмірність кривої, що утворюється в результаті (після нескінченного числа кроків), рівна 2.

Для реалізації вказаного вище алгоритму побудови необхідно перейти до комплексних чисел Z_A, Z_B и Z_C (Мал.14).

Мал.13

Для знаходження координат точки C представимо комплексні числа в тригонометричній формі. Знаходження координат точки C представлене формулами 1-8.

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

Гранична фрактальна крива (коли n прямує до нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея. У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідно для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення об’ємних текстур (малюнка на поверхні об’єкту).

2.5 Алгебраїчні фрактали

Це найкрупніша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш досліджені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор та інші.

 Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому виявилася динамічна система після деякої кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як говорять - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково попаде в дані кінцеві стани. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжіння аттракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати кольоровий фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними багатокольоровими узорами. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.

Мал.14.

Наприклад, фрактал Ньютона, який штрихується відповідно до кількості ітерацій (мал.14).