Пусть дана функция

1. Пусть дана функция

y = .

Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых logsin x 0 и sin x>0. Так как , то для 0 < sin x < 1 logsin x < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение

logsin x = 0

logsin x = log1

sin x = 1, откуда

 x =  + 2n, nZ.

Таким образом, D(y) = {+2n , nZ}.

Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку

logsin ( + 2n) = log1 = 0.

2. Найти область изменения функции

у = .

Решение:

Составим уравнение  = а, и исследуем множество его решений.

При а  0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х= а или х= 1 - а. Это уравнение имеет решение лишь при 1 - а 0, откуда а[-1;1], но с учетом, а  0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а[0;1], поэтому E(y) = [0;1].

3. Найти область определения функции

y =  + .

Решение:

Функция y =  определена для значений x0;

Функция y =  определена для значений 4+x0;

Т.е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток x(-4;0]. Он и есть область определения данной функции.

Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.

§4. Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические

 

Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х)Х для любого хХ, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).

Примеры симметричных относительно нуля множеств:

отрезок [-5;5];

интервал [-3;3];

числовая прямая (-);

Примеры несимметричных множеств:

отрезок [-5;4];

интервал (-2;3);

луч [-10;+);

Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.

Определение:

Функция у = f(x) называется четной, если:

1)  область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;

2)  для любого хD(f) выполняется равенство

f(-x) = f(x)

Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-хчетной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.

Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-хявляется четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-хне является нечетной.

Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции

у=1+sin x; у = 2; у = .

Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:

а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;

б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;

в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:

f(-x) = f(x) (1)

или f(-x) = f(x) (2) для всех хD(f)

Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:

_

+

+

_

+

Пример: исследовать на четность и нечетность функции:

1) у = 8; 2) у =  ; 3) у = ; 4) у = .

Областью определения функции у = 8является числовая прямая (-; +) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8;

f(-x) = 8= 8. Таким образом, f(-x) = f(x) , т.е. функция является чётной.

2) Областью определения функции y =  является промежуток (0; +) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y =  не является ни чётной, ни нечётной.

3) Область определения функции у =  находится из условия или (x – 1)(x + 1), таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем

f(x) = ; f(-x) = = , т.е. функция у =  является чётной.

4) Функция у =  не определена при тех значениях x, при которых знаменатель  = 0, т.е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (-; -3)  (-3; 3)  (3; +) - симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = ; f(x) =  = - .

Так как f(-x)f(x) и f(-x)-f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.

Свойство 1. Если y = f(x) и y =  (x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.

Доказательство.

Пусть Функции y = (x) и y =  (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций

(x) и (x) соответственно:

(x) = f(x) + (x);  = f(x) - (x).

Так как по определению f(-x) = -f(x) и (-x) = -(x), то

(-x) = f(-x) + (-x) = -f(x) - (x) = - (f(x) + (x)) = -(x)

(-x) = f(-x) - (-x) = -f(x) + (x) = - (f(x) - (x)) = -(x).

Полученные равенства означают, что (x) и (x) – нечётные функции.

Свойство 2. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.

Доказательство

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф(x) и Ф(x) соответственно:

Ф(x) = f(x) (x); Ф(x) =  ((x) 0).

Учитывая, что функции f(x) и (x) – нечётные, будем иметь:

Ф(-x) = f(-x) (-x) = (-f(x)) (-(x)) = f(x) (x) = Ф(x);

Ф(-x) =  =  =  = Ф(x).

Полученные равенства доказывают, что Ф(x) и Ф(x) функции чётные.

Свойство 3. Если y = f(x) и y = (x) – чётные функции , то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G(x),

разность функций G(x), произведение функций G(x), частное данных функций G(x) соответственно:

G(x) = f(x) + (x); G(x) = f(x) - (x); G(x) = f(x) (x);

G(x) =  (  0).

Докажем, что G(x), G(x), G(x), G(x) – чётные функции.

Доказательство

Учитывая, что f(x) и (x) – чётные функции будем иметь:

G(-x) = f(-x) + (-x) = f(x) + (x) = G(x);

G(-x) = f(-x) - (-x) = f(x) - (x) = G(x);

G(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (x) = G(x);

G(-x) =  =  = G(x).

Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению

F (-x) = f(x), (-x) = -(x).

Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x) (x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.

Доказательство

Учитывая, что f(x) – функция чётная, а (x) – функция нечётная, будем иметь:

Q(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (-(x)) = -f(x) (x) = -Q(x).

Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.

Свойство 5. Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Доказательство

Пусть функция y = f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.

Покажем, что существуют функции y = (x) и y = (x), каждая из которых определена на том же множестве X, и они такие, что

y = (x) + (x) = f(x), где y = (x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функции.

Положим (x) = ; (x) = .

Тогда ясно, что (x) и (x) определены на множестве X, так как f(x) определена на симметричном относительно нуля множестве X и

(-x) =  =  = (x);

(-x) =  =  = - = -(x);

(x) + (x) =  +  =  =  =

= f(x),

что и требовалось доказать.

Пример. Функцию y = 2 можно представить в виде суммы двух функций y = (x), где (x) = , и y = (x), где (x) = , причём функция y = (x) – чётная, а функция y = (x) – нечётная.

Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими, т.е. повторяющимися по истечении некоторого промежутка времени. Такие периодически повторяющиеся процессы описываются периодическими функциями. Поэтому особенно важно правильное понимание определения периодической функции.

Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число 0 такое, что выполняются следующие два условия:

1)  для любого x из области определения функции y = f(x) числа (x + ) и (x – T) также входят в область определения и 2) для любого x из области определения выполняется равенство f(x + ) = f(x).

Число Т называют периодом функции y = f(x).

Замечание. Для периодической функции имеет место равенство

f(x – T) = f(x). Действительно, функция y = f(x) в точке (x – T) определена и

f(x) = f[(x – T) + T] = f(x – T).

Покажем, что если число Т есть период функции y = f(x), то любое из чисел nT, где n, n