Навигация
Является периодом этой функции
45709
знаков
4
таблицы
36
изображений
0 является периодом этой функции. Действительно, пусть n = 1, тогда согласно определению и замечанию:
а) точки (x + 
) и (x – T) принадлежат области определения функции y = f(x);
б) f(x) = f(x + ) и f(x) = f(x – T).
Предположим, что для n = k справедливо утверждение точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1.
По предположению точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x) и Т есть её период. Следовательно, точки
[(x + kT) + T] и [(x – kT) – T], т.е. точки [x + (k + 1)T] и [x - (k + 1)T], принадлежат её области определения.
Итак, для любого x из области определения функции y = f(x) при любом n
Z, n0 точки (x + n) и (x – nT) принадлежат области её определения.
Предположим, что для любого n = k справедливо утверждение
f(x) = f(x + kT) и f(x) = f(x – kT). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1. Действительно, так как Т является периодом функции y = f(x), то для точки (x + kT) имеем [(x + kT) + T] = f(x + kT), но по предположению
f(x) = f(x + kT) следовательно, f(x) = f[x + (k + 1)T].
Аналогично для точки (x – kT) доказывается, что f(x) = f[x - (k + 1)T], т.е. для любого целого отличного от нуля n утверждение f(x) = f(x + nT) и
f(x) = f(x - nT) доказано.
Число Т называется главным периодом, если оно положительно и является наименьшим среди всех положительных периодов, т.е. из положительных периодов функции y = f(x) (если он существует) называют её основным (главным периодом).
Рассмотрим примеры.
Пример №1. Функция y ={x} ({x} – дробная часть числа х) – периодическая. Заметим, что по определению 
= х – [х], где [x] – целая часть числа х. Область определения данной функции - вся числовая прямая, поэтому для любого действительного числа х и любого Tx, Т0 числа (х + Т) и (х - Т) принадлежат области определения рассматриваемой функции и f(x +T ) = {x+T} = x + T – [x + T] = x + T –([x] + T) = x + T – [x] – T = x – [x] = {x}, где Т Z, T0.
Таким образом, функция у = {x} – периодическая с периодом Т, где Т Z, T0.
Наименьшее целое положительное число равно единице. Следовательно, основной период данной функции Т = 1.
Построим график функции у = {x}.
Для этого сначала построим график функции на промежутке х [0;1), длина которого равна основному периоду функции. Если х [0;1), то {x} = x, то есть на этом промежутке имеем у = х.
Весь график функции у = {x} получим параллельным переносом графика функции у = {x}, где х[0;1) вдоль оси абсцисс на 
= 1.
Пример № 2
Функция Дирихле – периодическая с периодом T = r, где r = Q.Действительно,
D(x) = 
D(x + r) =
Так как r – рациональное число, то сумма х + r - рациональное число, как сумма двух рациональных чисел; с другой стороны, х + r - иррациональное число, как сума иррационального и рационального чисел.
Следовательно, D(x + r) = D(x).
Пример № 3
Функция y = sin
не является периодической, так как, например для числа
х = 0 число (х – Т) при Т > 0 или число (х + Т) при Т < 0 не принадлежат области определения данной функции.
Пример № 4
Найти период функции
y = A sin (mx + 
), где А, m, - постоянные величины, A0, m0,
x – аргумент.
Область определения функции – числовая прямая, поэтому числа (х
Т)R, где Т
Похожие работы
... детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры – идет усвоение нового материала. 2.2 Методика введения показательной функции Изучение темы «Показательная функция» в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами: Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным ...
... учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа. Описание методов. Диагностические: I этап. Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала ...
... (вопросы а) и в)). Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения. Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения. Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его ...
... движение. Глава 3. развитие понятия функции в школьном курсе физике. §3.1. Функция как важнейшее звено межпредметных связей. В общей системе теоретических знаний учащихся по физике и математике в средней школе большое место занимает понятие «функция». Оно имеет познавательное и мировоззренческое значение и играет важную роль в реализации межпредметных связей [13]. Функция является одним ...
0 комментариев